Đăng nhập

Đề thi học sinh giỏi Toán 9 năm 2024 — Sở GD&ĐT Gia Lai

Thời gian
150 phút
Số câu
6 câu
Đáp án
Có đáp án

Câu 1

5,0 điểm
  1. a)

    Rút gọn biểu thức P=(x−21+x−2+x−3(1−x−2)(1+x−2)):(x−2−4x−2−2x−2−2x−2)P = \left(\dfrac{\sqrt{x-2}}{1+\sqrt{x-2}} + \dfrac{x-3}{(1-\sqrt{x-2})(1+\sqrt{x-2})}\right) : \left(\dfrac{\sqrt{x-2}-4}{x-2-2\sqrt{x-2}} - \dfrac{2}{\sqrt{x-2}}\right), với x>2x > 2 và x≠3;x≠6x \neq 3; x \neq 6.

    Tính giá trị của biểu thức P khi x=4+23−(5+1)4−23+5.(3−1)x = \sqrt{4+2\sqrt{3}} - (\sqrt{5}+1)\sqrt{4-2\sqrt{3}} + \sqrt{5}.(\sqrt{3}-1)

  2. b)

    Tìm nghiệm nguyên của phương trình 3(x2−xy+y2)=7(x+y)3(x^2 - xy + y^2) = 7(x+y).

Câu 2

5,0 điểm
  1. a)

    Giải phương trình 2x−1+x2−3x+1=0\sqrt{2x-1} + x^2 - 3x + 1 = 0.

  2. b)

    Trong một buổi họp mặt giữa hai lớp 8A và 8B có tất cả 62 học sinh tham gia. Các bạn lớp 8B tính số người quen ở lớp 8A và thấy rằng: bạn thứ nhất lớp 8B quen 13 bạn ở lớp 8A, bạn thứ hai lớp 8B quen 14 bạn ở lớp 8A, bạn thứ ba lớp 8B quen 15 bạn ở lớp 8A và cứ như vậy đến bạn cuối cùng của lớp 8B quen tất cả các bạn của lớp 8A. Tính số học sinh mỗi lớp tham gia họp mặt.

Câu 3

5,0 điểm

Cho đường tròn (I;R)(I; R) nội tiếp tam giác ABCABC, biết tam giác ABCABC cân tại AA và BAC^=1200\widehat{BAC} = 120^0, AB=2(2+3)AB = 2(2+\sqrt{3}). Đường tròn (I;R)(I; R) tiếp xúc các cạnh AB,ACAB, AC lần lượt tại D,ED, E. Một tiếp tuyến của đường tròn tại điểm bất kì thuộc cung nhỏ DE^\widehat{DE} cắt các cạnh AB,ACAB, AC tương ứng tại MM và NN.

  1. a)

    Chứng minh rằng MN2=AM2+AN2+AM.ANMN^2 = AM^2 + AN^2 + AM.AN.

  2. b)

    Tính bán kính RR của đường tròn (I;R)(I; R).

  3. c)

    Chứng minh rằng 23<MN<1\dfrac{2}{3} < MN < 1.

Câu 4

1,0 điểm

Trong hộp có chứa 2024 viên bi màu (mỗi viên bi chỉ có đúng một màu) trong đó có 675 viên bi màu đỏ, 657 viên bi màu xanh, 675 viên bi màu tím và 17 viên bi còn lại là các viên bi màu vàng hoặc màu trắng (mỗi màu có ít nhất một viên). Người ta lấy ra từ hộp 123 viên bi bất kì. Chứng minh rằng, trong số các viên bi vừa lấy ra luôn có ít nhất 36 viên bi cùng màu. Nếu người ta chỉ lấy ra từ hộp 122 viên bi bất kì thì kết luận trên của bài toán còn đúng không?

    Câu 5

    2,0 điểm

    Cho tam giác ABCABC có BAC^=600\widehat{BAC} = 60^0. Chứng minh rằng BC2AB2+BC2AC2≥2\dfrac{BC^2}{AB^2} + \dfrac{BC^2}{AC^2} \ge 2.

      Câu 6

      2,0 điểm

      Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

      A=253x2−3x4+24x2+9x4 (với x∈R;0≤x≤1).A = 25\sqrt{3x^2 - 3x^4} + 2\sqrt{4x^2 + 9x^4} \text{ (với } x \in R; 0 \le x \le 1).
        HẾT
        Đăng nhập để làm bài