Đề thi học sinh giỏi Toán 9 năm 2024 — Phòng GD&ĐT Châu Đức, Bà Rịa — Vũng Tàu

Câu 1

6,0 điểm

a)
Rút gọn biểu thức $P = \left(\dfrac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{1 - \sqrt{xy}} + \dfrac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{1 + \sqrt{xy}}\right) : \left(1 + \dfrac{x + y + 2xy}{1 - xy}\right)$ với $x \ge 0; y \ge 0; xy \ne 1$ .
b)
Chứng minh rằng với $n$ là số chẵn thì $A = n^{3} + 20n + 96$ chia hết cho $48$ .
c)
Tìm số tự nhiên có $2$ chữ số sao cho tích của số đó với tổng các chữ số của nó bằng tổng lập phương các chữ số của số đó.

Câu 2

3,0 điểm

a)
Giải phương trình $(x + 1)\sqrt{x - 1} + 5x = 13$ .
b)
Giải hệ phương trình $\begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} + 4\sqrt{xy} = 16 \\ x + y = 10 \end{cases}$ .

Câu 3

3,0 điểm

a)
Cho đường thẳng $(d): y = (m - 2)x + 2m - 1$ ( $m$ là tham số). Tìm giá trị của $m$ để khoảng cách từ gốc tọa độ $O$ đến đường thẳng $(d)$ có giá trị bằng $2$ .
b)
Cho $x > 0; y > 0$ và $x + y \le 1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của $P = \left(\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}\right)\sqrt{1 + x^{2}y^{2}}$ .

Câu 4

5,0 điểm

Cho tam giác $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ và điểm $D$ bất kì trên cạnh $AB$ . Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $BC$ và $CA$ . Gọi $P$ và $Q$ là các giao điểm của $MN$ với đường tròn $(O)$ (điểm $P$ thuộc cung nhỏ $BC$ và điểm $Q$ thuộc cung nhỏ $CA$ ). Gọi $I$ là giao điểm khác $B$ của $BC$ với đường tròn ngoại tiếp tam giác $BDP$ . Gọi $K$ là giao điểm của $DI$ với $AC$ .

a)
Chứng minh tứ giác $CIPK$ nội tiếp đường tròn.
b)
Chứng minh $PK.QC = QB.PD$ .
c)
Gọi $G$ là giao điểm khác $P$ của $AP$ với đường tròn ngoại tiếp tam giác $BDP$ . Đường thẳng $IG$ cắt $BA$ tại $E$ . Chứng minh khi $D$ di chuyển trên cạnh $AB$ thì tỉ số $\dfrac{AD}{AE}$ không đổi.

Câu 5

2,0 điểm

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , tia phân giác của góc $A$ cắt $BC$ ở $D$ . Gọi $M, N$ lần lượt là hình chiếu của $B, C$ lên đường thẳng $AD$ . Chứng minh $AD \le \dfrac{1}{2}(BM + CN)$ .