Đề thi học sinh giỏi tỉnh Toán 9 (Bảng A) năm 2023–2024 — Sở GD&ĐT Nghệ An

Câu 1

3,0 điểm

a)
Tìm tất cả các cặp số nguyên $(m,n)$ thỏa mãn: $m^2 + m = 3^{2024n} + 19$ .
b)
Cho $a,b,c,d$ là các số nguyên biết $a + 3b = c + 2d$ . Chứng minh rằng $a^2 + 9b^2 + c^2 + 4d^2$ viết được dưới dạng tổng ba số chính phương.

Câu 2

7,0 điểm

a)
Giải hệ phương trình
$\begin{cases} (x - y)^3 + (x - y)(xy + x - y) + xy = 0 \\ y(y + 2)(y + 5)(x + 2) = 35x^2 \end{cases}$
b)
Giải phương trình
$4(x - 1)^2\sqrt{x + 1} - 4(x - 1)\sqrt{x^2 - 1} = (x^2 + 2)(x^2 - 2x).$

Câu 3

1,5 điểm

Cho $a,b,c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác thỏa mãn $2c + 3b = abc$ .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$P = \frac{5}{b + c - a} + \frac{7}{a + b - c} + \frac{8}{a + c - b}.$

Câu 4

7,5 điểm

Cho đường tròn $(O;R)$ cố định và điểm $A$ cố định nằm ngoài đường tròn $(O;R)$ . Từ điểm $A$ vẽ hai tiếp tuyến $AB, AC$ tới đường tròn $(O;R)$ ( $B, C$ là các tiếp điểm). Qua $A$ vẽ đường thẳng cố định cắt đường tròn $(O;R)$ tại hai điểm phân biệt $I$ và $E$ ( $I$ nằm giữa hai điểm $A, E$ và $\widehat{EBC} < 90^\circ$ ). Gọi $H$ là giao điểm của $AO$ và $BC$ . Qua $H$ vẽ đường thẳng $(d)$ song song với $BE$ , biết $(d)$ cắt các đường thẳng $BI, BA$ lần lượt tại $Q$ và $N$ . Đường thẳng $BE$ cắt đường thẳng $AO$ tại $K$ . Gọi $M$ là giao điểm của hai đường thẳng $AQ$ và $BK$ .

a)
Chứng minh rằng $\frac{BI}{CI} = \frac{BE}{CE}$ .
b)
Chứng minh rằng $HB$ là đường phân giác của $\widehat{NHM}$ .
c)
Vẽ đường tròn $(P;R_1)$ thay đổi nhưng luôn đi qua hai điểm $I$ và $E$ . Từ $A$ vẽ hai tiếp tuyến $AD, AJ$ với đường tròn $(P;R_1)$ ( $D, J$ là các tiếp điểm). Gọi $T$ là giao điểm của hai đường thẳng $DJ$ và $AE$ . Chứng minh đường tròn đường kính $TP$ luôn đi qua 2 điểm cố định.

Câu 5

1,0 điểm

Trong phòng có 121 người, biết mỗi người quen với ít nhất 81 người khác. Chứng minh rằng trong phòng phải có 4 người từng đôi một quen nhau.