Đề thi học sinh giỏi Toán 9 lần 5 năm 2023–2024 — Trường TH&THCS Hồng Phương, Vĩnh Phúc

Câu 1

2,5 điểm

Cho $x = \sqrt{4 + \sqrt{10 + 2\sqrt{5}}} + \sqrt{4 - \sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}$ .

Tính giá trị của biểu thức: $P = \dfrac{x^4 - 4x^3 + x^2 + 6x + 12}{x^2 - 2x + 12}$

Câu 2

2,5 điểm

Tìm số tự nhiên $x$ , biết

\left(\sqrt{1 + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2}} + \sqrt{1 + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2}} + \cdots + \sqrt{1 + \frac{1}{14^2} + \frac{1}{15^2}}\right) \cdot (1 + 2 + \cdots + x) = 1612.

Câu 3

2,0 điểm

Giải phương trình $\sqrt{x + 3} + \sqrt{3x + 1} = x + 3$ .

Câu 4

2,0 điểm

Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình:

x^2 + 5y^2 + 6z^2 + 2xy - 4xz = 10

Câu 5

2,0 điểm

Với các số thực $a, b, c$ thỏa mãn $0 \le a, b, c \le 1$ và $a + b + c = 2$ , tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \dfrac{ab}{1 + ab} + \dfrac{bc}{1 + bc} + \dfrac{ca}{1 + ca}$ .

Câu 6

2,0 điểm

Cho tam giác nhọn $ABC$ đường cao $CK$ ; $H$ là trực tâm của tam giác. Gọi M là một điểm trên $CK$ sao cho $\widehat{AMB} = 90^0$ . Gọi $S; S_1; S_2$ theo thứ tự là diện tích các tam giác $AMB; ABC; ABH$ .

a)
Chứng minh: $HK.CK = AK.BK$
b)
Chứng minh: $S = \sqrt{S_1.S_2}$

Câu 7

5,0 điểm

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , $AH$ vuông góc với $BC$ , $AD$ là đường phân giác. Gọi $HM$ , $HN$ là đường phân giác của tam giác $HAB$ , $HAC$ .

a)
Chứng minh $DM // AC$ và $AD = MB$ .
b)
Gọi $AP, AQ$ là đường phân giác của tam giác $AHB$ , $AHC$ . Chứng minh rằng: $PQ^2 = 2PB.CQ$ .

Câu 8

1,0 điểm

Cho tam giác đều $ABC$ , đường cao $AH$ . Lấy điểm $M$ nằm giữa $B$ và $C$ , vẽ $MD$ vuông góc với $AB$ tại $D$ , $ME$ vuông góc với $AC$ tại $E$ . Tìm vị trí của điểm $M$ trên $BC$ để diện tích $MDE$ lớn nhất.

Câu 9

1,0 điểm

Bảy người câu được 100 con cá. Biết rằng không có hai người nào câu được số cá như nhau. Chứng minh rằng có ba người câu được tổng cộng không ít hơn 50 con cá.