Đề thi học sinh giỏi Toán 9 năm 2024 — Phòng GD&ĐT quận Hai Bà Trưng, Hà Nội

Câu I

5,0 điểm

1)
Giải hệ phương trình
$\begin{cases} 3\sqrt{x} = \dfrac{x+2}{y} \\ 3\sqrt{y} = \dfrac{y+2}{x} \end{cases}$
2)
Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn đồng thời các điều kiện $a^2 + b^2 = 9; b^2 + c^2 = 16$ và $b^2 = ac$ . Tính giá trị của biểu thức $S = ab + bc$ .

Câu II

5,0 điểm

1)
Cho $a, b$ là các số nguyên dương thỏa mãn $a^b + b^a$ chia hết cho 4. Chứng minh $a^a + b^b$ chia hết cho 4.
2)
Tìm các số nguyên $x, y$ thỏa mãn $x(y^3 + 1) - x^3 = 2y^3 - 1$ .
3)
Cho $m, n$ là các số nguyên dương thỏa mãn $m^3 + 6n^2 + 2$ là lập phương của một số tự nhiên; đồng thời $n^2 + 4m + 8$ là số chính phương. Chứng minh $m^2 + 4n$ là số chính phương.

Câu III

2,0 điểm

Với $a, b, c$ là các số thực thỏa mãn $0 \le a, b, c \le 3$ và $a + b + c = 6$ , xét biểu thức

T = a(a - 2b) + b(b - 2c) + c(c - 2a).

1)
Chứng minh $T \ge -12$ .
2)
Tìm giá trị lớn nhất của $T$ .

Câu IV

6,0 điểm

Cho tam giác $ABC$ nhọn $(AB < AC)$ , nội tiếp đường tròn $(O)$ , đường kính $AK$ . Các đường cao $AD, BE, CF$ cắt nhau tại trực tâm $H$ . Gọi $M, I$ lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng $BC, AH$ . Gọi $N$ là điểm đối xứng với $M$ qua $O$ .

1)
Chứng minh $MI$ là đường trung trực của $EF$ và $M$ là trung điểm của $HK$ .
2)
Đường thẳng qua $A$ và vuông góc với $AN$ cắt đường thẳng qua $B$ và vuông góc với $BC$ tại $P$ . Chứng minh $OA$ vuông góc với $EF$ và hai đường thẳng $AP, MH$ cắt nhau tại một điểm trên đường tròn $(O)$ .
3)
Chứng minh $CP$ đi qua trung điểm của đoạn thẳng $AD$ .

Câu V

2,0 điểm

Gọi $T$ là tập hợp tất cả các số tự nhiên có ba chữ số, mà mỗi chữ số của chúng đều là chữ số lẻ.

1)
Thầy giáo chọn ngẫu nhiên một số từ tập $T$ . Tính xác suất của biến cố “Số được chọn chia hết cho 5”.
2)
Ta gọi số tự nhiên có 9 chữ số $\overline{abcdefghi}$ là một số tốt nếu các số $\overline{abc}, \overline{def}, \overline{ghi}$ là các phần tử (không nhất thiết phân biệt) của tập $T$ , đồng thời $\overline{abc} + \overline{def} = 10 \cdot \overline{ghi}$ .
1. a)
  Chỉ ra một số tốt có 6 chữ số giống nhau.
2. b)
  Hỏi có tất cả bao nhiêu số tốt?