Đề kiểm tra học sinh giỏi Toán 9 năm 2024–2025 — Phòng GD&ĐT thị xã Kinh Môn, Hải Dương

Câu 1

2,0 điểm

1)
Rút gọn biểu thức $P = \left(\dfrac{2x\sqrt{x} + x - \sqrt{x}}{x\sqrt{x} - 1} - \dfrac{x + \sqrt{x}}{x - 1}\right) \cdot \dfrac{x - 1}{2x + \sqrt{x} - 1} + \dfrac{\sqrt{x}}{2\sqrt{x} - 1}$ với $x \ge 0; x \ne 1; x \ne \dfrac{1}{4}$ .
2)
Cho $P(x)$ là đa thức bậc 4 thoả mãn $P(-2) = 0$ và $P(x) - P(x - 2) = x(x + 2)(3x + 1)$

Xác định đa thức $P(x)$ .

Câu 2

2,0 điểm

1)
Giải phương trình $x^2 + 5x + 1 = 4\sqrt{x}(x + 1)$ .
2)
Giải hệ phương trình: $\begin{cases} x^3 + 3xy^2 = -49 \\ x^2 - 8xy + y^2 = 8y - 17x \end{cases}$ .

Câu 3

2,0 điểm

1)
Tìm tất cả các cặp số nguyên $(x, y)$ thỏa mãn phương trình:

$3(x^2 + 2y^2 - 1) - 4(xy + 2y) = 0.$
2)
Cho $a, b, c$ là các số nguyên dương thỏa mãn $a - b$ là số nguyên tố và $3c^2 = ab + bc + ca$ . Chứng minh rằng $8c + 1$ là số chính phương.

Câu 4

2,5 điểm

1)
Cho tam giác $ABC$ không cân, có $BC = a; CA = b; AB = c$ . $I$ là giao điểm ba đường phân giác trong của tam giác $ABC$ . $D$ là hình chiếu vuông góc của $I$ lên $BC$ . Chứng minh rằng: $ID = \dfrac{a}{\cot \dfrac{B}{2} + \cot \dfrac{C}{2}}$ và $(a - b)\cot \dfrac{C}{2} + (b - c)\cot \dfrac{A}{2} + (c - a)\cot \dfrac{B}{2} = 0$ .
2)
Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $a$ . Gọi $M, N$ là các điểm thay đổi trên cạnh $BC$ và $CD$ sao cho $\widehat{MAN} = \widehat{MAB} + \widehat{NAD}$ , $P$ và $Q$ lần lượt là các giao điểm của $AN$ và $AM$ với $BD$ , $I$ là giao điểm của $MP$ và $QN$ .
1. a)
  Chứng minh $AI \perp MN$ .
2. b)
  Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác $AMN$ khi $M, N$ thay đổi trên $BC$ và $CD$

Câu 5

0,5 điểm

Trong hộp có chứa 2024 viên bi màu (mỗi viên bi chỉ có đúng một màu) trong đó có 675 viên bi màu đỏ, 657 viên bi màu xanh, 675 viên bi màu tím và 17 viên bi còn lại là các viên bi màu vàng hoặc màu trắng (mỗi màu có ít nhất một viên). Người ta lấy ra từ hộp 123 viên bất kì. Chứng minh rằng, trong số các viên bi vừa lấy ra luôn có ít nhất 36 viên bi cùng màu. Nếu người ta chỉ lấy ra từ hộp 122 viên bi bất kì thì kết luận trên của bài toán còn đúng không?

Câu 6

1,0 điểm

Cho ba số thực dương $a,b,c$ thỏa mãn:

a^2 + b^2 + c^2 + ab - 2bc - 2ca = 0.

Chứng minh:

\frac{a^2 + b^2 + c^2}{a^2 + b^2} + \frac{c^2}{(a + b - c)^2} + \frac{\sqrt{ab}}{a + b} \geq 3.