Đề giao lưu học sinh giỏi Toán 9 năm 2024–2025 — Phòng GD&ĐT Thọ Xuân, Thanh Hóa

Cho biểu thức $A = \dfrac{x\sqrt{x}+5\sqrt{x}+6}{x-2\sqrt{x}-3} - \dfrac{x-7\sqrt{x}-8}{x+2\sqrt{x}+1} - \dfrac{2x+10\sqrt{x}+12}{x-\sqrt{x}-6}$ với $x \geq 0, x \neq 9$. Rút gọn A, và tìm tất cả các giá trị của $x$ để $\dfrac{4}{A}$ nhận giá trị nguyên.

Cho a, b, c thỏa mãn $\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=7$; $a+b+c=23$; $\sqrt{abc}=3$. Tính giá trị biểu thức $H = \dfrac{1}{\sqrt{ab}+\sqrt{c}-6} + \dfrac{1}{\sqrt{bc}+\sqrt{a}-6} + \dfrac{1}{\sqrt{ca}+\sqrt{b}-6}$.

Giải phương trình: $9x^{2} = (x^{2}+x-5)(\sqrt{3x+1}-1)^{2}$.

Giải hệ phương trình

Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: $3^{x}-32=y^{2}$.

Giả sử $n$ là số tự nhiên thỏa mãn điều kiện $n(n+1)+7$ không chia hết cho 7. Chứng minh rằng $4n^{3}-5n-1$ không là số chính phương.

Cho 1 hộp gồm các thẻ đánh số 1;2;3;4;5;6;7;8. Mỗi thẻ khác nhau đánh các số khác nhau. Lấy ngẫu nhiên 2 thẻ trong hộp. Tính xác suất của biến cố “Tích của 2 thẻ được lấy ra là một số chẵn”.

Cho đường tròn (O; R) và hai đường kính AB, CD sao cho tiếp tuyến tại A của đường tròn (O; R) cắt đường thẳng BC, BD tại hai điểm tương ứng là E và F. Gọi P, Q lần lượt tại trung điểm AE, AF.

Cho $a,b,c$ là ba số thực dương thỏa mãn điều kiện $abc \geq 1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = \dfrac{1}{a^{2}+1+bc} + \dfrac{1}{b^{2}+1+ac} + \dfrac{1}{ab(c^{3}+1)+1}$.