Đề thi học sinh giỏi Toán 9 năm 2024–2025 — Phòng GD&ĐT huyện Gia Lộc, Hải DươngMã đề 1

Câu 1

2,0 điểm

1)
Cho biểu thức $M = \frac{x^4 + 2}{x^6 + 1} + \frac{x^2 - 1}{x^4 - x^2 + 1} - \frac{x^2 + 3}{x^4 + 4x^2 + 3}$
1. a)
  Rút gọn $M$
2. b)
  Tìm giá trị lớn nhất của $M$
2)
Tìm số dư trong phép chia $(x + 3)(x + 5)(x + 7)(x + 9) + 2040$ cho $x^2 + 12x + 30$

2,0 điểm

1)
Giải phương trình: $\frac{x - 1}{2024} + \frac{x - 2}{2023} + \frac{x - 3}{2022} + ... + \frac{x - 2024}{1} = 2024$
2)
Giải phương trình: $(3x - 2)(x + 1)^2(3x + 8) = -16$

2,0 điểm

1)
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $5x^2 + y^2 = 17 - 2xy$
2)
Cho biểu thức: $P = (a + b)(b + c)(c + a) - abc$ với $a, b, c$ là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu $a + b + c$ chia hết cho $4$ thì $P$ chia hết cho $4$ .

3,0 điểm

1)
Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , $AH$ là đường cao, $AD$ là tia phân giác của góc $BAC$ và $\sin B = \frac{1}{3}$ . Tính giá trị của biểu thức: $A = \frac{2\sin B - 3\cos B}{2\sin B + 3\cos B}$
2)
Cho hình chữ nhật $ABCD$ , có $AD = k.AB$ $(k > 0)$ . Trên cạnh $BC$ lấy điểm $M$ , đường thẳng $AM$ cắt $CD$ tại $N$ .
1. a)
  Chứng minh rằng: Khi $M$ chuyển động trên cạnh $BC$ thì $\frac{1}{k^2.AM^2} + \frac{1}{AN^2}$ không đổi.
2. b)
  Tìm vị trí của $M$ trên cạnh $BC$ để $k.AM + AN$ đạt giá trị nhỏ nhất.

1,0 điểm

Chứng minh rằng: Với mọi $a, b > 0$ thoả mãn: $a + b = 1$ thì:

\frac{1}{ab} + \frac{1}{a^2 + b^2} \ge 6.

HẾT