Đề thi học sinh giỏi Toán 9 năm 2024 — Phòng GD&ĐT Đồng Xoài, Bình Phước

Câu 1

5,0 điểm

1)
Cho biểu thức $P = \left(\dfrac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} - \dfrac{2\sqrt{x}}{3x + 2\sqrt{x}} - \dfrac{9x + \sqrt{x} + 1}{3x - \sqrt{x} - 2}\right) : \dfrac{3\sqrt{x} + 1}{7x - 7\sqrt{x}},\ x > 0, x \neq 1$ .
1. a)
  Rút gọn biểu thức $P$ .
2. b)
  Tìm $x$ sao cho $P$ nhận giá trị là một số nguyên.
2)
Cho các số thực $x, y, z$ thỏa mãn $x + y + z = 3$ và $x^2 + y^2 + z^2 = xy + yz + zx$ . Tính giá trị của biểu thức $B = x^{2024} + y^{2024} + z^{2024} + xyz$ .

Câu 2

5,0 điểm

1)
Giải phương trình: $(x + 4)\sqrt{10 - x^2} = x^2 + 2x - 8$
2)
Giải hệ phương trình: $\begin{cases} x^2 - 3y = 2 & (1) \\ 9y^2 - 8x = 8 & (2) \end{cases}$
3)
Cho hàm số $y = mx - 2m - 1 (m \neq 0)$ . Gọi $A, B$ lần lượt là giao điểm của đồ thị hàm số với trục $Ox, Oy$ . Xác định $m$ để diện tích tam giác $AOB$ bằng $4$ (đvdt).

Câu 3

5,0 điểm

Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp $(O)$ . Gọi điểm $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ , tia $AI$ cắt đường tròn $(O)$ tại $M$ (điểm $M$ khác điểm $A$ ).

a)
Chứng minh: Các tam giác $IMB$ và $IMC$ là các tam giác cân.
b)
Đường thẳng $MO$ cắt đường tròn tại điểm $N$ ( $N$ khác điểm $M$ ) và cắt cạnh $BC$ tại điểm $P$ . Chứng minh rằng: $\sin \dfrac{BAC}{2} = \dfrac{IP}{IN}$ .
c)
Gọi các điểm $D, E$ lần lượt là hình chiếu của điểm $I$ trên các cạnh $AB, AC$ . Gọi các điểm $H, K$ lần lượt đối xứng với các điểm $D, E$ qua điểm $I$ . Biết rằng $AB + AC = 3BC$ , chứng minh các điểm $B, C, H, K$ cùng thuộc một đường tròn.

Câu 4

2,0 điểm

1)
Đội văn nghệ của lớp 9A có 3 bạn nam và 3 bạn nữ. Cô giáo phụ trách đội chọn ngẫu nhiên hai bạn để hát song ca. Tính xác suất của biến cố T: “Trong hai bạn được chọn ra, có một bạn nam và một bạn nữ”.
2)
Cho hình bên là một thúng gạo vun đầy. Thúng có dạng nửa hình cầu với đường kính $50cm$ , phần gạo vun lên có dạng hình nón cao $15cm$ .
1. a)
  Tính thể tích phần gạo trong thúng.
2. b)
  Nhà Danh dùng lon sữa bò cũ có dạng hình trụ (bán kính đáy bằng $5cm$ , chiều cao $15cm$ ) để đong gạo mỗi ngày. Biết mỗi ngày nhà Danh ăn $5$ lon gạo và mỗi lần đong thì lượng gạo chiếm $90\%$ thể tích lon. Hỏi với lượng gạo ở thúng trên thì nhà Danh có thể ăn nhiều nhất là bao nhiêu ngày? (làm tròn đến dạng $0,1$ ).

Câu 5

3,0 điểm

1)
Tìm các số nguyên $(x; y)$ thỏa mãn: $(y+2)x^2 - y^2 - 2y -1 = 0$
2)
Cho $a, b, c > 0$ thỏa mãn $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 3$ .

Tìm giá trị lớn nhất của: $P = \frac{1}{\sqrt{a^2 - ab + b^2}} + \frac{1}{\sqrt{b^2 - bc + c^2}} + \frac{1}{\sqrt{c^2 - ca + a^2}}$ .