Đề thi học sinh giỏi Toán 9 năm 2024–2025 — Sở GD&ĐT Thanh Hóa

Câu 1

2,0 điểm

Rút gọn biểu thức:

A=\left(\frac{\sqrt{a-b}}{\sqrt{a-b}+\sqrt{a+b}}+\frac{a-b}{\sqrt{a^{2}-b^{2}}-a+b}\right)\cdot \frac{a^{2}+b^{2}}{\sqrt{a^{2}-b^{2}}} \quad (\text{với } a>b>0).

Câu 2

2,0 điểm

Cho $a, b$ là các số thực dương phân biệt thỏa mãn:

\frac{8b^{8}}{a^{8}-b^{8}}+\frac{4b^{4}}{a^{4}+b^{4}}+\frac{2b^{2}}{a^{2}+b^{2}}+\frac{b}{a+b}=4 \text{ và } a^{2}=2025+b^{2}.

Tính giá trị biểu thức: $P=(a-b-10)^{2}+2000$ .

Câu 3

2,0 điểm

Giải hệ phương trình:

\begin{cases} 13\sqrt{x-1}+9\sqrt{y+2}=16x \\ (x^{2}+x)\sqrt{x-y+3}=2x^{2}+x+y+1 \end{cases}.

Câu 4

2,0 điểm

Cho các chữ số $0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9$ . Gọi $X$ là tập hợp các số tự nhiên có $5$ chữ số khác nhau viết được từ các chữ số nói trên. Lấy ngẫu nhiên một số từ tập hợp $X$ . Tính xác suất của biến cố $A$ : “Số lấy ra là số lớn hơn $59.000$ ”.

Câu 5

2,0 điểm

Tìm tất cả các nghiệm nguyên của phương trình:

(2x-y-2)^{2}=7(x-2y-y^{2}-1).

Câu 6

2,0 điểm

Cho số tự nhiên $n\ge 2$ và số nguyên tố $p$ . Chứng minh rằng nếu $p-1$ chia hết cho $n$ và $n^{6}-1$ chia hết cho $p$ thì ít nhất một trong hai số $p-n$ và $p+n$ là số chính phương.

Câu 7

1,5 điểm

Có hai chiếc cọc cao $10m$ và $30m$ đặt vuông góc với mặt đất tại hai vị trí $A$ và $B$ . Biết khoảng cách giữa hai cọc bằng $24m$ . Người ta đặt một cái chốt ở vị trí $M$ trên mặt đất, nằm giữa hai chân cọc để giăng dây nối đến hai đỉnh $C$ và $D$ của hai cọc (như hình vẽ). Hỏi người ta phải đặt chốt ở vị trí cách $A$ một khoảng bằng bao nhiêu trên mặt đất để tổng độ dài của hai sợi dây đó là ngắn nhất?

Hình vẽ minh họa hai cọc AC = 10 m và BD = 30 m vuông góc với AB = 24 m, điểm M trên AB nối với C và D

Câu 8

3,5 điểm

Cho tam giác nhọn $ABC$ nội tiếp đường tròn $(O)$ , ba đường cao $AD, BF, CE$ cắt nhau tại $H$ , vẽ $OK \perp BC$ ( $K \in BC$ ). Gọi $I$ là trung điểm của $AH$ , gọi $J$ là giao điểm của $AH$ và $EF$ , kẻ đường kính $AP$ của đường tròn $(O)$ .

a)
Chứng minh: $OK = \dfrac{1}{2}AH$ và $IK$ đi qua trung điểm của $EF$ .
b)
Đường thẳng qua $B$ song song với $AC$ cắt đường thẳng $CE$ tại $S$ . Chứng minh: $IF^{2} = IJ.ID$ và $KS // CJ$ .

Câu 9

1,5 điểm

Cho tam giác $ABC$ có ba cạnh tiếp xúc với đường tròn $(I)$ . Gọi $E, F$ lần lượt là tiếp điểm của đường tròn $(I)$ với $AC$ và $AB$ . Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $BC$ và $AC$ . Chứng minh ba đường thẳng $BI, MN, EF$ đồng quy.

Câu 10

1,5 điểm

Cho $x, y, z$ là các số thực dương thỏa mãn: $xyz(x+y+z)=3$ . Chứng minh rằng: $x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq \dfrac{1}{243}\left(x^{5}-2x+4\right)^{2}\left(y^{5}-2y+4\right)^{2}\left(z^{5}-2z+4\right)^{2}$ .