Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 9 năm 2024 — Phòng GD&ĐT thành phố Lào Cai

Câu 1

5,0 điểm

1.1)
Cho biểu thức:
$A = \left(2 - \frac{2\sqrt{xy} + 1}{1 + \sqrt{xy}} + \frac{1 + \sqrt{xy} + 2\sqrt{x}}{1 - xy}\right) : \left(\frac{\sqrt{xy} - \sqrt{x}}{\sqrt{xy} + 1} - \frac{\sqrt{xy} + \sqrt{x}}{\sqrt{xy} - 1}\right)$
(với $x > 0; y > 0; xy \ne 1$ )
1. a)
  Rút gọn biểu thức $A$ .
2. b)
  Cho $\frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{y}} = 12$ , tìm giá trị lớn nhất của $A$ .
1.2)
Xét ba số thực dương $a, b, c$ thỏa mãn $\frac{c}{b} = \frac{\sqrt{c^{2} + 1}}{b} - \frac{ac}{c + \sqrt{c^{2} + 1}}$ . Tính giá trị biểu thức
$P = \frac{1}{\sqrt{ab} + a\sqrt{bc} + 1} + \frac{1}{\sqrt{bc} + \sqrt{b} + 1} + \frac{1}{\sqrt{ca} + \sqrt{c} + 1}$

Câu 2

2,0 điểm

Khởi động một giờ học, cô An cho lớp chơi trò chơi "Quay số nhận quà". Vòng quay số gồm 6 ô gắn các số tự nhiên từ 1 đến 6 (mỗi số gắn trên một ô). Người chơi được quay số 3 lần. Sau 3 lần quay, nếu kết quả nhận được có đủ các chữ số 3, 1, 2 thì sẽ được nhận quà. Hãy tính xác suất để người chơi được nhận quà.

Câu 3

2,0 điểm

Bình khởi hành từ thành phố Lào Cai về huyện Bảo Thắng. Sau đó 5 phút, Minh và An khởi hành từ huyện Bảo Thắng về thành phố Lào Cai. Trên đường đi Bình gặp Minh rồi gặp An ở hai địa điểm cách nhau 6 km. Tính vận tốc mỗi người? Biết rằng thành phố Lào Cai cách huyện Bảo Thắng 33 km; vận tốc của Bình gấp rưỡi vận tốc của An và bằng $\frac{2}{3}$ vận tốc của Minh.

Câu 4

2,0 điểm

4.1)
Cho $a, b$ là các số thực thỏa mãn $a + b + ab = 8$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = a^{2} + b^{2}$ .
4.2)
Với $a, b, c > 0, 3bc - ac - ab = 1$ , chứng minh rằng $a^{3}b^{3}c^{3} + b^{3} + c^{3} \ge 3b^{3}c^{3}$ .

Câu 5

3,0 điểm

5.1)
Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $n > 3$ thì $A = n^{3} - n^{2} - n - 2$ không phải là số nguyên tố.
5.2)
Cho $x, y$ là các số nguyên thỏa mãn $xy(x - y) + 1$ chia hết cho 3. Chứng minh $x + y$ chia hết cho 3.
5.3)
Tìm tất cả các số nguyên x, y thỏa mãn phương trình:
$6x^{2} - xy - 2y^{2} + 4x + 2y - 7 = 0.$

Câu 6

6,0 điểm

Cho tam giác $ABC$ nhọn ( $AB > AC$ ) nội tiếp đường tròn $(O)$ , có đường cao $AH$ . Gọi $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ . Đường thẳng $AI$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai là $M$ . Kẻ đường kính $AK$ của đường tròn $(O)$ . Đường thẳng $MK$ cắt các đường thẳng $AH$ và $BC$ thứ tự tại $P$ và $Q$ . Gọi $F$ là giao điểm của $AM$ và $BC$ .

a)
Chứng minh: $FA.FM = FH.FQ$ .
b)
Chứng minh: $\triangle AKP$ cân;
c)
Chứng minh: $MB^2 = MK.MQ$ và tứ giác $QIHP$ nội tiếp.
d)
Đường thẳng $KI$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai là $D$ . Hai đường thẳng $AD$ và $BC$ cắt nhau tại $R$ . Gọi $E$ là trung điểm của $AR$ . Chứng minh ba điểm $Q, I, E$ thẳng hàng.