Đề thi học sinh giỏi Toán 9 năm 2024–2025 — Phòng GD&ĐT thị xã Bình Long, Bình Phước

Câu 1

5,0 điểm

Cho $A=\left(\dfrac{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-1}+\dfrac{\sqrt{x}+1}{3-\sqrt{x}}+\dfrac{\sqrt{x}+7}{x-4\sqrt{x}+3}\right):\left(1-\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\right)$ (với $x \ge 0, x \ne 1, x \ne 9$ ).

1)
Rút gọn biểu thức A.
2)
Tính giá trị của biểu thức A khi $x=7-4\sqrt{3}$ .
3)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $\dfrac{1}{A}$ .

Câu 2

5,0 điểm

1)
Giải phương trình và hệ phương trình:
1. a)
  $x^{2}-2x+3=2\sqrt{2x^{2}-4x+3}$
2. b)
  $\begin{cases} xy+x+2y=14 \\ x^{3}+6x^{2}+12x-y=-7 \end{cases}$
2)
Một giáo viên đến nhà sách để mua một số sách và tập để làm phần thưởng cho học sinh. Nhà sách đã niêm yết giá một quyển sách là 30.000 đồng và giá một quyển tập là 10.000 đồng. Biết giáo viên muốn mua tất cả 30 quyển sách và tập. Khi ra quầy thu ngân để thanh toán tiền, nhà sách thông báo hôm nay được giảm giá $10\%$ trên tổng số tiền, nên giáo viên chỉ phải trả 450.000 đồng. Hỏi giáo viên đã mua bao nhiêu quyển sách và bao nhiêu quyển tập?

Câu 3

5,0 điểm

Cho đường tròn $(O)$ , đường kính $AB$ . Trên tia tiếp tuyến $Ax$ với $(O)$ lấy điểm $C$ sao cho $AC=AB$ . Đường thẳng $BC$ cắt $(O)$ tại $D$ , $M$ là điểm thay đổi trên đoạn $AD$ . Gọi $N$ , $P$ lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ $M$ xuống $AB$ , $AC$ ; $H$ là chân đường vuông góc hạ từ $N$ xuống $PD$ . Chứng minh:

1)
5 điểm $A$ , $N$ , $M$ , $P$ , $H$ cùng thuộc một đường tròn.
2)
$H$ , $M$ , $B$ thẳng hàng.
3)
$HN$ luôn đi qua một điểm cố định khi $M$ thay đổi.

Câu 4

2,0 điểm

1)
Một bể cá dạng hình hộp chữ nhật có chiều dài $80\text{cm}$ , chiều rộng $60\text{cm}$ , đang chứa $240\,000\text{cm}^{3}$ nước. Người ta bỏ vào bể 6 viên đá dạng hình chóp tứ giác đều có cạnh đáy $12\text{cm}$ , chiều cao $15\text{cm}$ và một số viên đá dạng hình chóp tam giác đều có diện tích mặt đáy là $110\text{cm}^{2}$ , chiều cao $18\text{cm}$ . Tính số viên đá dạng hình chóp tam giác đều đã bỏ vào bể cá, biết sau khi bỏ các viên đá vào thì mực nước trong bể cao $52\text{cm}$ .
2)
Cho 1 hộp gồm các thẻ đánh số $1;2;3;4;5;6;7;8$ . Mỗi thẻ khác nhau đánh các số khác nhau. Lấy ngẫu nhiên $2$ thẻ trong hộp. Tính xác suất của biến cố “Tích của $2$ thẻ được lấy ra là một số chẵn”.

Câu 5

3,0 điểm

1)
Tìm nghiệm nguyên của phương trình: $(x^2 + 1)(x^2 + y^2) = 4x^2y$ .
2)
Chứng minh: $x^3y - xy^3 \vdots 6$ (với $x, y \in \mathbb{Z}$ ).
3)
Cho $x, y > 1$ . Chứng minh: $\frac{(x^3 + y^3) - (x^2 + y^2)}{(x-1)(y-1)} \geq 8$ .