Đề thi học sinh giỏi Toán 9 năm 2024–2025 — Phòng GD&ĐT thị xã Vĩnh Châu, Sóc Trăng

Câu 1

4,0 điểm

a)
Tìm tất cả các cặp số nguyên $(x, y)$ thỏa mãn: $x^2 - y^2 + 2(3x + y) = 29$ .
b)
Đội văn nghệ của lớp 9A có 3 bạn nam và 4 bạn nữ. Cô giáo phụ trách đội chọn ngẫu nhiên hai bạn để hát song ca. Tính xác suất của biến cố T: “Trong hai bạn được chọn ra có một bạn nam và một bạn nữ”.

Câu 2

4,0 điểm

a)
Cho biểu thức $P = \left(\dfrac{\sqrt{x} + \sqrt{y}}{1 - \sqrt{xy}} + \dfrac{\sqrt{x} - \sqrt{y}}{1 + \sqrt{xy}}\right) : \left(1 + \dfrac{x + y + 2xy}{1 - xy}\right)$ , với $(x \geq 0; y \geq 0; xy \neq 1)$ .
1. a1)
  Rút gọn biểu thức P.
2. a2)
  Tính giá trị của P khi $x = \sqrt{1 + 2025^2 + \dfrac{2025^2}{2024^2}} - \dfrac{2024^2 + 1}{2024}$ và $y = 22\dfrac{12}{2024}$ .
b)
Cho các số dương a, b, c. Chứng minh rằng: $1 < \dfrac{a}{a + b} + \dfrac{b}{b + c} + \dfrac{c}{c + a} < 2$

Câu 3

4,0 điểm

a)
Anh Bình cần rút tiền trong thẻ ATM để chi tiêu cá nhân nhưng lại quên mật khẩu đăng nhập tài khoản. Biết rằng mật khẩu là một số chính phương A có bốn chữ số, nếu bớt đi mỗi chữ số của số A một đơn vị thì được số mới là số chính phương có bốn chữ số. Em hãy giúp anh Bình tìm lại mật khẩu đã quên.
b)
Giải hệ phương trình:
$\begin{cases} xy(x + y) = 2 \\ x^3 + y^3 + 6 = 8x^2y^2 \end{cases}$

Câu 4

5,0 điểm

Cho đường tròn $(O;R)$ có đường kính AB, C là trung điểm của OA và dây MN vuông góc với OA tại C. Gọi K là điểm tùy ý trên cung nhỏ BM, H là giao điểm của AK, MN.

a)
Chứng minh: BCHK là tứ giác nội tiếp.
b)
Tính $AH.AK$ theo R.
c)
Xác định vị trí điểm K để $KM + KN + KB$ lớn nhất. Tính giá trị lớn nhất đó.

Câu 5

3,0 điểm

a)
Cho tam giác ABC cân tại A, có góc A nhỏ hơn $90^0$ . Từ B kẻ BM vuông góc với AC tại M (điểm M thuộc AC). Chứng minh rằng $\dfrac{AM}{MC} + 1 = 2\left(\dfrac{AB}{BC}\right)^2$
b)
Tính diện tích của hình vuông lớn nhất, biết diện tích hình vuông bé nhất là $124\text{ cm}^2$ (hình bên).