Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 9 năm 2025 — Phòng GD&ĐT Từ Sơn, Bắc Ninh

Cho biểu thức $A = \left(\dfrac{3x+\sqrt{16x}-7}{x+2\sqrt{x}-3} - \dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+3} - \dfrac{\sqrt{x}+7}{\sqrt{x}-1}\right) : \left(2 - \dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}\right)$ với $x \neq 1, x \neq 4, x \geq 0$

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường thẳng $(d): y = \dfrac{1}{2}x - 3$ cắt hai trục tọa độ $Ox$, $Oy$ lần lượt tại $A, B$. Tìm tọa độ các điểm $A$, $B$ và viết phương trình đường thẳng $(\Delta)$ đi qua $M(2;-2)$ thỏa mãn cắt đoạn thẳng $OA$ tại $C$ sao cho diện tích tam giác $AMC$ bằng $5$.

Giải phương trình: $3x^{2} + 13 = 6\sqrt{2x+1} + 4x$

Giải hệ phương trình $\begin{cases} x^{2}(x-3y) = -16 \\ y^{3}+16 = 3xy^{2} \end{cases}$

Một chiếc hộp đựng $51$ tấm thẻ như nhau được ghi các số tự nhiên từ $10$ đến $60$. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ trong hộp. Tính xác suất để rút được tấm thẻ mà tổng các chữ số ghi trên tấm thẻ là một số chẵn.

Tìm các số nguyên $x, y$ thỏa mãn: $x^{2} + y^{2} + 5x^{2}y^{2} + 60 = 37xy$

Chứng minh $\Delta BOE$ vuông và $EI.BD = FI.CD = R^{2}$.

Gọi $P, K$ lần lượt là trung điểm các đoạn thẳng $BC, AD$. $Q$ là giao điểm của $BC$ và $AI$. Chứng minh $AQ = 2KP$.

Gọi $A_{1}$ là giao điểm của $AO$ với cạnh $BC$, $B_{1}$ là giao điểm của $BO$ với cạnh $AC$, $C_{1}$ là giao điểm của $CO$ với cạnh $AB$ và $(O_{1};R_{1})$ là đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$. Chứng minh

$\dfrac{1}{AA_{1}} + \dfrac{1}{BB_{1}} + \dfrac{1}{CC_{1}} < \dfrac{2}{R_{1} - OO_{1}}.$

Cho $a, b > 0$ thỏa mãn $a+b = 1$. Chứng minh rằng: $\dfrac{1}{ab} + \dfrac{1}{a^{2}+b^{2}} \geq 6$.

Trong tuần, mỗi ngày bạn Nam chơi một môn thể thao. Nam chạy $3$ ngày một tuần nhưng không bao giờ Nam chạy $2$ ngày liên tiếp. Vào ngày thứ hai, Nam chơi bóng bàn và $2$ ngày sau đó Nam chơi bóng đá. Nam còn đi bơi và chơi cầu lông nhưng không bao giờ Nam chơi cầu lông sau ngày Nam chạy hoặc bơi. Hỏi Nam chơi cầu lông vào thứ mấy trong tuần?