Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 9 năm 2024 — Sở GD&ĐT Cần Thơ

Cho biểu thức $P = \frac{\sqrt{x^3} - \sqrt{y^3}}{x - y} - \frac{x}{\sqrt{x} + \sqrt{y}} - \frac{y}{\sqrt{y} - \sqrt{x}}$, với $y > x > 0$.

Cho hệ phương trình: $\begin{cases} x - my = 3 - 4m \\ mx + y = 3m + 2 \end{cases}$ ($m$ là tham số). Chứng minh rằng hệ phương trình đã cho luôn có nghiệm duy nhất $(x_0; y_0)$ với mọi giá trị của $m$ và $x_0^2 + y_0^2 - 6(x_0 + y_0) + 17 = 0$.

Phòng giáo dục và Đào tạo huyện A chọn một nhóm gồm học sinh cấp Tiểu học và học sinh cấp Trung học cơ sở để tham gia Kỳ thi Violympic cấp tỉnh. Ban đầu, Phòng giáo dục và Đào tạo huyện A dự kiến chọn $60\%$ học sinh Tiểu học trong nhóm học sinh dự thi. Do đơn vị tổ chức không đủ máy vi tính nên Phòng giáo dục và Đào tạo huyện A phải giảm số học sinh dự thi của mỗi cấp là $30$. Vì vậy số học sinh Tiểu học được chọn chiếm $62\%$ trong nhóm học sinh dự thi. Hỏi trong nhóm học sinh dự thi theo thực tế có bao nhiêu học sinh của mỗi cấp học?

Anh Bình cần rút tiền trong thẻ ATM để chi tiêu cá nhân nhưng lại quên mật khẩu đăng nhập tài khoản. Biết rằng mật khẩu là một số chính phương $A$ có bốn chữ số, nếu bớt đi mỗi chữ số của số $A$ một đơn vị thì được số mới là số chính phương có bốn chữ số. Em hãy giúp anh Bình tìm lại mật khẩu đã quên.

Cho hai đường tròn $(O, R)$ và $(O', R')$ với $R > R'$ cắt nhau tại hai điểm $A$ và $B$. Trên tia đối của tia $AB$ lấy điểm $C$. Qua điểm $C$ kẻ các tiếp tuyến $CD, CE$ với đường tròn $(O)$, trong đó $D, E$ là các tiếp điểm và $E$ nằm trong đường tròn $(O')$. Các đường thẳng $DA, AE$ cắt đường tròn $(O')$ lần lượt tại $M$ và $N$ ($M$ và $N$ khác $A$). Tia $DE$ cắt đoạn thẳng $MN$ tại $I$. Chứng minh:

Cho $a, b$ là các số dương thỏa mãn $a + b = 2$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = a^2b^2(a^2 + b^2)$.