Đề thi học sinh giỏi Toán 9 năm 2024–2025 — Phòng GD&ĐT huyện Bắc Hà, Lào Cai

Thời gian: 150 phút
Số câu: 6 câu
Đáp án: Có đáp án

Câu 1

4,0 điểm

1.1)
Cho biểu thức $M = \left(\dfrac{2}{\sqrt{xy}} + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}\right).\dfrac{\sqrt{xy}(x + y) - xy}{x\sqrt{x} + y\sqrt{y}}$ (Với $x > 0, y > 0$ )
1. a)
  Rút gọn biểu thức $M$ .
2. b)
  Biết $x + y = 4$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M$ .
1.2)
Cho các số dương $a, b$ thoả mãn $ab + a + b = 1$ .

Chứng minh: $\dfrac{a}{a^2 + 1} + \dfrac{b}{b^2 + 1} = \dfrac{ab + 1}{\sqrt{2(a^2 + 1)(b^2 + 1)}}$

Câu 2

2,0 điểm

Cho tập hợp $A = \{0,1,2,3,4,5,6\}$ . Gọi S là tập hợp các số có 3 chữ số khác nhau được lập thành từ các chữ số của tập hợp A. Chọn ngẫu nhiên một số từ S, tính xác suất để số được chọn có chữ số cuối gấp đôi chữ số đầu.

Câu 3

2,0 điểm

Kết thúc năm học 2023-2024, Bình hỏi Tuấn: “Bạn có bao nhiêu bài kiểm tra đạt điểm 8 và điểm 9 vậy?”. Tuấn trả lời: “Số bài kiểm tra đạt điểm 8, điểm 9 của tớ nhiều hơn 21 và tổng số điểm của các bài kiểm tra đó là 183”. Em hãy tính giúp Bình xem Tuấn có bao nhiêu bài kiểm tra đạt điểm 8 và bao nhiêu bài kiểm tra đạt điểm 9 nhé.

Câu 4

2,0 điểm

Cho $x, y$ là các số thực dương thay đổi và thoả mãn $4x^2 + 9y^2 = 10$ . Chứng minh rằng:

$\frac{(2x + 9y)^3}{4(x^2 + y^2) - 4x - 8y + 55} \le 20.$

Câu 5

4,0 điểm

a)
Cho $n$ là số nguyên dương và $d$ là ước dương của $2n^2$ , chứng minh $n^2 + d$ không phải là số chính phương.
b)
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: $5(x^2 + xy + y^2) = 7(x + 2y)$ .

Câu 6

6,0 điểm

Cho O là trung điểm của đoạn thẳng MN. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng MN vẽ tia Mx, Ny cùng vuông góc với MN. Trên tia Mx lấy điểm P (điểm P khác M), qua O kẻ đường vuông góc với OP cắt Ny tại Q. Kẻ OA $\perp$ PA tại A. Gọi E là giao điểm của AM và OP, F là giao điểm của AN và OQ.

a)
Chứng minh: $\Delta MPO \sim \Delta NOQ$ và $MP.NQ = \dfrac{MN^2}{4}$
b)
Chứng minh tứ giác EAFO là hình chữ nhật.
c)
Từ A, kẻ $AH \perp MN$ tại H. Gọi K là giao điểm của AH và NP. Chứng minh rằng: E,F,K thẳng hàng.

HẾT