Đề thi học sinh giỏi Toán 9 năm 2023–2024 — Sở GD&ĐT Nam Định

Câu 1

4,0 điểm

a)
Cho $x = \sqrt{3-2\sqrt{2}} + \sqrt{9-4\sqrt{2}}$ . Tính giá trị của biểu thức $T = \dfrac{x^4 + 4x^3 -12x^2 +8x +1}{x^2 +4x -13}$ .
b)
Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn $a+b+c = 5$ và $\sqrt{a} + \sqrt{b} + \sqrt{c} = 3$ . Chứng minh rằng $\dfrac{\sqrt{c} - \sqrt{b}}{a+2\left(\sqrt{bc} -1\right)} + \dfrac{\sqrt{a} - \sqrt{c}}{b+2\left(\sqrt{ac} -1\right)} + \dfrac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{c+2\left(\sqrt{ab} -1\right)} = \dfrac{2}{\sqrt{b} - \sqrt{a}}$ .

Câu 2

3,0 điểm

a)
Tìm tất cả các cặp số tự nhiên $(x; y)$ thoả mãn $3^x\left(9^x +1 -2^y\right) -9^x\left(1+2^y\right) +4^y = 1$ .
b)
Cho $a, b$ là hai số nguyên dương sao cho $p = a^2 + b^2$ là số nguyên tố và $p-5$ chia hết cho $8$ . Xét $x, y$ là hai số nguyên sao cho $ax^2 - by^2$ chia hết cho $p$ . Chứng minh rằng $x, y$ cùng chia hết cho $p$ .

Câu 3

4,0 điểm

a)
Giải phương trình $\sqrt{10x-5} + \sqrt{5x^2+5} = 3\sqrt{x^2+2x}$ .
b)
Giải hệ phương trình
$\begin{cases} x^3 -2y^3 + xy^2 + x^2 +2y^2 + xy = 0 \\ (x+1)\sqrt{y+1} + (x+6)\sqrt{y+6} = x^2 -5x +12y \end{cases}$

Câu 4

7,0 điểm

Từ điểm $M$ nằm ngoài đường tròn $(O)$ , kẻ hai tiếp tuyến $MA, MB$ với đường tròn $(O)$ , (với $A, B$ là hai tiếp điểm). Gọi $H$ là giao điểm của $OM$ và $AB$ . Kẻ đường kính $BD$ của đường tròn $(O)$ . Đường thẳng $MD$ cắt đường tròn $(O)$ tại điểm thứ hai là $C$ . Tiếp tuyến tại $C$ của đường tròn $(O)$ cắt $MA, MB$ lần lượt tại $E, F$ .

a)
Chứng minh $\widehat{OCD} = \widehat{OHD}$ và $(ME + MF + EF)^2 = 4MH.MO$ .
b)
Gọi $G$ là giao điểm của đường thẳng $OE$ và $AD$ . Chứng minh tứ giác $OAGH$ là hình bình hành.
c)
Chứng minh các đường thẳng $CD, HG, AF$ đồng quy.

Câu 5

2,0 điểm

a)
Xét $a, b, c$ là các số thực dương thoả mãn $a+b+c = 1$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
$P = 14\left(a^2 + b^2 + c^2\right) + \dfrac{ab+bc+ca}{a^2b + b^2c + c^2a}.$
b)
Trên một đường tròn cho 26 điểm phân biệt. Mỗi điểm đó được tô bởi một trong 5 màu: trắng, xanh, đỏ, tím, vàng. Giữa mỗi cặp điểm nối với nhau bằng một đoạn thẳng được tô bởi một trong 2 màu: nâu hoặc đen. Chứng minh rằng luôn tồn tại một tam giác có ba đỉnh được tô cùng một màu (trắng, xanh, đỏ, tím hoặc vàng) và ba cạnh cùng được tô cùng một màu (nâu hoặc đen).