Đề thi học sinh giỏi Toán 9 cấp tỉnh năm 2024 — Sở GD&ĐT Bình Phước

Câu 1

5,0 điểm

1)
Cho biểu thức: $P = \left(\dfrac{2x+4}{x\sqrt{x}-8} - \dfrac{\sqrt{x}}{x+2\sqrt{x}+4}\right) \cdot \left(\dfrac{x\sqrt{x}+8}{4+2\sqrt{x}} - \sqrt{x}\right)$ .
1. a)
  Rút gọn biểu thức $P$ .
2. b)
  Tính giá trị của $P$ khi $x = 7+4\sqrt{3}$ .
2)
Tính giá trị của $a+b$ biết $\left(a+\sqrt{a^2+2024}\right)\left(b+\sqrt{b^2+2024}\right)=2024$ .

Câu 2

5,0 điểm

1)
Một công ty vận tải dự định chở 54 tấn hàng để hưởng ứng phong trào “Hướng về Miền Trung thân yêu”. Nhưng khi chuẩn bị khởi hành thì số hàng hóa đã tăng thêm 6 tấn so với dự định. Vì vậy công ty phải bổ sung thêm 3 xe, lúc này mỗi xe chở ít hơn dự định 1 tấn hàng. Hỏi ban đầu công ty dự định dùng bao nhiêu chiếc xe để chở hàng, biết các xe chở số tấn hàng bằng nhau.
2)
Giải hệ phương trình: $\begin{cases} 3y^2+2xy+3 = 4y\sqrt{x^2+3} \\ y(y-x) = 3-3y \end{cases}.$
3)
Cho Parabol $(P): y = x^2$ và đường thẳng $(d): y = mx+4$ (với $m$ là tham số).
1. a)
  Chứng minh đường thẳng $(d)$ luôn cắt đồ thị $(P)$ tại hai điểm phân biệt.
2. b)
  Gọi $x_1, x_2$ là hoành độ giao điểm của $(P)$ và $(d)$ . Tìm $m$ để $T = \dfrac{2mx_1 - x_1x_2 + 2mx_2 + 3}{x_1^2 + x_2^2}$ nhận giá trị nguyên.

Câu 3

5,0 điểm

Cho đường tròn tâm $O$ đường kính $AB$ . Trên cùng nửa mặt phẳng bờ $AB$ , vẽ các tiếp tuyến $Ax, By$ của $(O)$ và lấy điểm $C$ sao cho $CA < CB$ . Trên đoạn $OA$ lấy điểm $D$ ( $D$ khác $O, A$ ). Đường thẳng vuông góc với $CD$ tại $C$ cắt $Ax, By$ lần lượt tại $E, F$ . Đoạn thẳng $AC$ cắt $DE$ tại $G$ , $BC$ cắt $DF$ tại $H$ , $OC$ cắt $GH$ tại $I$ . Gọi $J, K$ lần lượt là trung điểm của $DE, DF$ .

a)
Chứng minh $\Delta AGE$ đồng dạng $\Delta FHC$ .
b)
Chứng minh $I$ là trung điểm của $GH$ và $I, J, K$ thẳng hàng.
c)
Gọi $M$ là giao điểm của $JO$ và $DK$ . Chứng minh $\Delta JOK$ vuông và $DE, IM, KO$ đồng quy.

Câu 4

2,0 điểm

Cho nửa đường tròn $(O;R)$ đường kính $AB$ . $M$ là điểm di động trên nửa đường tròn ( $M$ không trùng với $A,B$ ). Qua $M$ kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn. Gọi $D, C$ lần lượt là hình chiếu của $A, B$ trên tiếp tuyến ấy. Tìm vị trí của $M$ để tứ giác $ABCD$ có diện tích lớn nhất.

Câu 5

3,0 điểm

1)
Cho các số $a,b,c \in [0;1]$ . Chứng minh: $\sqrt{4a^2-4a^2b^2} + \sqrt{16b^2-12b^2c^2} + \sqrt{6c^2-3c^2a^2} \le 5$ .
2)
Tìm tất cả các cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn phương trình: $3(x^2+2y^2-1) - 4(xy+2y) = 0$ .