Đề khảo sát học sinh giỏi Toán 9 lần 3 năm 2024 — Phòng GD&ĐT Tam Kỳ, Quảng Nam

Câu 1

4,0 điểm

a)
Cho $f(n) = \dfrac{2}{\sqrt{2n+1} + \sqrt{2n-1}}$ với $n$ là số nguyên dương. Tính giá trị của biểu thức

$P = f(1) + f(2) + f(3) + ... + f(60).$
b)
Tìm tất cả các giá trị của tham số $m$ để phương trình $x^2 - 2(3m - 1)x + m^2 - m - 4 = 0$ có hai nghiệm phân biệt $x_1, x_2$ thỏa mãn $\left|x_1 + x_2 + \sqrt{x_1x_2}\right| = 2024 - \left|x_1 + x_2 - \sqrt{x_1x_2}\right|$ .

Câu 2

4,0 điểm

a)
Giải phương trình: $4\left(x - \sqrt{x-1}\right) = -32x^4 + 80x^3 - 50x^2 + 3$ .
b)
Giải hệ phương trình:
$\begin{cases} x - 2\sqrt{y+1} = 3 \\ x^3 - 4x^2\sqrt{y+1} - 9x - 8y = -52 - 4xy \end{cases}$

Câu 3

3,0 điểm

Cho tam giác $ABC$ , kẻ các đường phân giác trong $AD, BE, CF$ của tam giác $ABC$ . Chứng minh rằng

a)
$AD = \sqrt{AB.AC - BD.DC}$
b)
$\dfrac{1}{AB} + \dfrac{1}{AC} + \dfrac{1}{BC} < \dfrac{1}{AD} + \dfrac{1}{BE} + \dfrac{1}{CF}$

Câu 4

4,0 điểm

Cho đường tròn $(O;R)$ và điểm $M$ cố định ở bên ngoài đường tròn. Từ $M$ kẻ các tiếp tuyến $MA, MB$ và cát tuyến $MCD$ đến đường tròn $(O;R)$ , với $A, B$ là các tiếp điểm. $C, D$ thuộc đường tròn $(O)$ sao cho $MC < MD, CD < 2R$ . Gọi $E$ là trung điểm của $CD$ .

a)
Chứng minh bốn điểm $A, E, O, B$ cùng nằm trên một đường tròn.
b)
Gọi $F$ là giao điểm của $AB$ và $OE$ . Chứng minh $FC$ là tiếp tuyến của đường tròn $(O;R)$ .
c)
Gọi $T$ là điểm thay đổi trên cung nhỏ $AB$ của đường tròn $(O)$ . Tiếp tuyến tại $T$ của đường tròn $(O)$ cắt $MA, MB$ lần lượt tại các điểm $I, K$ . Chứng minh rằng chu vi tam giác $MIK$ không đổi. Xác định vị trí của điểm $T$ trên cung nhỏ $AB$ sao cho tam giác $MIK$ có diện tích lớn nhất.

Câu 5

5,0 điểm

a)
Tìm tất cả các bộ ba số nguyên tố $(p, q, r)$ sao cho $p + q + r = pqr - 200$ .
b)
Cho các số thực $a, b, c, d \ge -1$ . Tìm tất cả các giá trị thực của $k$ sao cho

$a^3 + b^3 + c^3 + d^3 + 1 \ge k(a + b + c + d)$