Đề thi học sinh giỏi Toán 9 năm 2023–2024 — Sở GD&ĐT Hà Tĩnh

Tính giá trị của biểu thức $P=\dfrac{x^4-4x^3+x^2+6x+12}{x^2-2x+12}$, biết $x=\sqrt[3]{5+2\sqrt{13}}+\sqrt[3]{5-2\sqrt{13}}$.

Cho đường thẳng (d): $y=(m-1)x+3$. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để đường thẳng (d) cắt trục $Ox$, $Oy$ lần lượt tại hai điểm $A$ và $B$ sao cho tam giác $AOB$ vuông cân.

Cho dãy số được xác định bởi $u_1=1$; $u_{n+1}=u_n+\dfrac{1}{n(n+1)}$, $n\ge 1$, $n\in \mathbb{N}$. Tính giá trị $u_{2024}$.

Bạn Hà làm một bài thi gồm 20 câu hỏi. Mỗi câu trả lời đúng được 5 điểm, mỗi câu trả lời sai bị trừ 1 điểm, mỗi câu bỏ qua không trả lời được 0 điểm. Tính số câu trả lời đúng, số câu trả lời sai, số câu bỏ qua không trả lời của bạn Hà, biết rằng bạn Hà được 57 điểm.

Cho các số thực $a,b,c$ thỏa mãn $ab\ne 0$ và $\begin{cases} a(3a^2+4b^2)=bc \\ b(a^2+3b^2)=2ac \end{cases}$

. Tính giá trị của $P=\dfrac{2a^4+b^4}{b^4+3a^4}$.

Cho hình vẽ, biết rằng $AE=2$, $ED=3$, $CB=6$. Trong đó $AB$ và $CD$ cùng vuông góc với $AD$ tại $A$ và tại $D$. Tìm độ dài đoạn $BE$.

Tìm nghiệm nguyên của phương trình

Giải phương trình $(x+6)^2-8\sqrt{x^3+3x}=33$.

Cho tam giác $ABC$ có đường cao $AH$, đường phân giác trong $AD$ sao cho $AC-AB=36\text{cm}$, $DC-DB=24\text{cm}$. Tính giá trị $HC-HB$.

Cho $a,b,c$ là các số nguyên dương thỏa mãn $a+b+c=100$. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $M=a^2+b^2+c^2$.

Cho đường tròn đường kính $BC$, $A$ là một điểm thuộc đường tròn ($A$ khác $B$ và $C$), kẻ $AH$ vuông góc với $BC$ tại $H$. Gọi $M$, $N$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp của các tam giác $AHB$ và $AHC$. Đường thẳng $MN$ cắt $AB$, $AH$, $AC$ lần lượt tại $I$, $E$, $K$. Đường thẳng $AN$ cắt $BC$ tại $D$.

Cho $a,b,c$ là các số thực không âm và $a^2+b^2+c^2=4$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\dfrac{a}{a^2+3}+\dfrac{b}{b^2+3}+\dfrac{c}{c^2+3}$.