Đăng nhập

Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 9 năm 2023–2024 — Sở GD&ĐT Phú Thọ

Thời gian
150 phút
Số câu
20 câu
Đáp án
Có đáp án
Phần A. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn — 16 câu · 8,0 điểm
Phần B. Tự luận — 4 câu · 12,0 điểm

Phần A. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn8,0 điểm

Câu 1

Biết 4−23−6−25=a−b\sqrt{4-2\sqrt{3}}-\sqrt{6-2\sqrt{5}}=\sqrt{a}-\sqrt{b}. Giá trị a−ba-b bằng

  1. A

    2

  2. B

    4

  3. C

    3−5\displaystyle \sqrt{3}-\sqrt{5}

  4. D

    −2\displaystyle -2

Câu 2

Cho a=13−763+13+763a=\sqrt[3]{13-7\sqrt{6}}+\sqrt[3]{13+7\sqrt{6}}. Giá trị (a3+15a−25)2024\left(a^{3}+15a-25\right)^{2024} bằng

  1. A

    5

  2. B

    1

  3. C

    0

  4. D

    22024\displaystyle 2^{2024}

Câu 3

Trong mặt phẳng tọa độ OxyOxy, cho đường thẳng (d):y=(2m+1)x+m−3(d): y=(2m+1)x+m-3. Gọi m0m_{0} là giá trị của mm để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d)(d) là lớn nhất. Khẳng định nào sau đây đúng?

  1. A

    0<m0<1\displaystyle 0<m_{0}<1

  2. B

    −1<m0<0\displaystyle -1<m_{0}<0

  3. C

    1<m0<2\displaystyle 1<m_{0}<2

  4. D

    2<m0<3\displaystyle 2<m_{0}<3

Câu 4

Trong mặt phẳng tọa độ OxyOxy, cho hai đường thẳng (d1):y=mx+5(d_{1}): y=mx+5 (m≠0)(m\neq 0) và (d2):y=−1mx+5(d_{2}): y=-\dfrac{1}{m}x+5 (m≠0)(m\neq 0). Gọi AA là giao điểm của d1d_{1} và d2d_{2}; BB và CC lần lượt là giao điểm của d1d_{1} và d2d_{2} với trục hoành. Giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác ABCABC bằng

  1. A

    1

  2. B

    9

  3. C

    25

  4. D

    16

Câu 5

Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 24km24km. Khi đi từ B trở về A người đó tăng vận tốc thêm 4km/h4km/h so với lúc đi nên thời gian về ít hơn thời gian đi là 30 phút. Vận tốc của xe đạp khi đi từ A đến B bằng

  1. A

    15km/h\displaystyle 15 km/h

  2. B

    9km/h\displaystyle 9 km/h

  3. C

    10km/h\displaystyle 10 km/h

  4. D

    12km/h\displaystyle 12 km/h

Câu 6

Trong mặt phẳng tọa độ OxyOxy, cho parabol (P):y=x2(P): y=x^{2}. Trên (P)(P) lấy hai điểm A,BA, B lần lượt có hoành độ là −1-1 và 33. Diện tích tam giác OABOAB bằng

  1. A

    16

  2. B

    6

  3. C

    8

  4. D

    12

Câu 7

Cho phương trình x2−2mx−m−4=0x^{2}-2mx-m-4=0 với mm là tham số. Biết rằng phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x1,x2x_{1}, x_{2}, khi 1x12+x22\dfrac{1}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}} đạt giá trị lớn nhất thì m=−abm=\dfrac{-a}{b}, (a,b∈Z+,(a,b)=1)(a,b\in \mathbb{Z}^{+}, (a,b)=1). Tổng 4a+b4a+b bằng

  1. A

    8

  2. B

    5

  3. C

    0

  4. D

    4

Câu 8

Cho phương trình (m−1)x2−2(2m−3)x−5m+25=0(m-1)x^{2}-2(2m-3)x-5m+25=0. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số mm để phương trình có nghiệm là số hữu tỉ?

  1. A

    3

  2. B

    2

  3. C

    1

  4. D

    0

Câu 9

Cho tam giác ABCABC vuông tại AA, có AB=3,AC=4AB=3, AC=4. Điểm MM thuộc cạnh ABAB sao cho MBMA=12\dfrac{MB}{MA}=\dfrac{1}{2}. Điểm PP thuộc tia ACAC sao cho 3AC=2AP3AC=2AP. Gọi GG là giao điểm của BCBC và MPMP. Biết AG=abbAG=\dfrac{a\sqrt{b}}{b} (a;b∈Z+,(a,b)=1)(a; b\in \mathbb{Z}^{+}, (a,b)=1). Tổng a+ba+b bằng

  1. A

    9

  2. B

    10

  3. C

    12

  4. D

    11

Câu 10

Cho đường tròn (O;R)(O; R) nội tiếp trong hình thang cân ABCDABCD (đáy lớn CDCD). Đường tròn (O;R)(O; R) tiếp xúc với hai cạnh bên của hình thang lần lượt tại hai điểm M,NM, N. Biết R=10cm;MN=16cmR = 10 cm; MN = 16 cm. Chu vi của hình thang bằng

  1. A

    100cm\displaystyle 100 cm

  2. B

    80cm\displaystyle 80 cm

  3. C

    85cm\displaystyle 85 cm

  4. D

    75cm\displaystyle 75 cm

Câu 11

Cho hình lập phương ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D'. Biết đường chéo AC′=23cmAC' = 2\sqrt{3} cm. Thể tích của khối lập phương ABCD.A′B′C′D′ABCD.A'B'C'D' bằng

  1. A

    8cm3\displaystyle 8 cm^{3}

  2. B

    6cm3\displaystyle 6 cm^{3}

  3. C

    10cm3\displaystyle 10 cm^{3}

  4. D

    9cm3\displaystyle 9 cm^{3}

Câu 12

Cho ba đường tròn (O1),(O2),(O3)(O_{1}), (O_{2}), (O_{3}) có bán kính bằng nhau và bằng 33, đôi một tiếp xúc ngoài nhau. Một đường tròn (O)(O) chứa ba đường tròn (O1),(O2),(O3)(O_{1}), (O_{2}), (O_{3}) và tiếp xúc với ba đường tròn đó lần lượt tại ba điểm D,E,FD, E, F. Chu vi của tam giác DEFDEF bằng

  1. A

    9+63\displaystyle 9 + 6\sqrt{3}

  2. B

    9+62\displaystyle 9 + 6\sqrt{2}

  3. C

    18+93\displaystyle 18 + 9\sqrt{3}

  4. D

    6+93\displaystyle 6 + 9\sqrt{3}

Câu 13

Cho tam giác ABCABC vuông tại AA, đường cao AHAH, đường trung tuyến AMAM, đường phân giác trong AIAI của góc AA của tam giác ABCABC. Biết rằng AC=43ABAC = \dfrac{4}{3}AB và diện tích tam giác ABCABC là 24cm224 cm^{2}. Giá trị của ∣IH−IM∣|IH - IM| bằng

  1. A

    135cm\displaystyle \dfrac{1}{35} cm

  2. B

    235cm\displaystyle \dfrac{2}{35} cm

  3. C

    435cm\displaystyle \dfrac{4}{35} cm

  4. D

    17cm\displaystyle \dfrac{1}{7} cm

Câu 14

Cho điểm PP nằm trong đường tròn (O;R)(O; R). Dây cung MNMN của (O;R)(O; R) đi qua PP. Biết R=10cmR = 10 cm và OP=4cmOP = 4 cm. Tích PM.PNPM.PN bằng

  1. A

    64cm\displaystyle 64 cm

  2. B

    84cm\displaystyle 84 cm

  3. C

    81cm\displaystyle 81 cm

  4. D

    49cm\displaystyle 49 cm

Câu 15

Cho nửa đường tròn (O)(O) đường kính BC=2RBC = 2R. Điểm AA di động trên nửa đường tròn (O)(O). Gọi HH là hình chiếu của điểm AA lên BCBC. Gọi DD và EE lần lượt là hình chiếu của HH lên ACAC và ABAB. Giá trị lớn nhất của diện tích tứ giác AEHDAEHD bằng

  1. A

    R24\displaystyle \dfrac{R^{2}}{4}

  2. B

    R23\displaystyle \dfrac{R^{2}}{3}

  3. C

    R28\displaystyle \dfrac{R^{2}}{8}

  4. D

    R22\displaystyle \dfrac{R^{2}}{2}

Câu 16

Một nhóm bạn đi câu cá. Bạn câu được ít nhất câu được 17\dfrac{1}{7} tổng số cá mà cả nhóm câu được, bạn câu được nhiều nhất câu được 15\dfrac{1}{5} tổng số cá mà cả nhóm câu được. Biết rằng số cá câu được của mỗi bạn là khác nhau. Số người của nhóm đi câu cá là

  1. A

    7\displaystyle 7

  2. B

    5\displaystyle 5

  3. C

    6\displaystyle 6

  4. D

    12\displaystyle 12

Phần B. Tự luận12,0 điểm

Câu 1

3,0 điểm
  1. a)

    Tìm tất cả các cặp số nguyên dương (x;y)(x; y) thỏa mãn x2+y(y2+2y−4x)=0x^{2} + y(y^{2} + 2y - 4x) = 0.

  2. b)

    Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (n;k)(n; k) sao cho n4+42k+1n^{4} + 4^{2k+1} là số nguyên tố.

Câu 2

4,0 điểm
  1. a)

    Giải phương trình: x2+5x+1=4x(x+1)x^{2} + 5x + 1 = 4\sqrt{x}(x + 1).

  2. b)

    Cho x;y;zx; y; z là các số thực dương thỏa mãn

    {x2+y2+2x−4y−4=0y2+z2−4y−12=0y2−4y−z−xz+4=0.\begin{cases} x^{2} + y^{2} + 2x - 4y - 4 = 0 \\ y^{2} + z^{2} - 4y - 12 = 0 \\ y^{2} - 4y - z - xz + 4 = 0 \end{cases} .

    Chứng minh rằng: xy+yz−2x+y−2z=14xy + yz - 2x + y - 2z = 14.

  3. c)

    Cho P(x)P(x) là đa thức bậc 44 thỏa mãn P(−2)=0P(-2)=0 và P(x)−P(x−2)=x(x+2)(3x+1)P(x)-P(x-2)=x(x+2)(3x+1).

    Xác định đa thức P(x)P(x).

Câu 3

4,0 điểm

Cho tam giác ABCABC nhọn (AB<AC)(AB < AC), có trực tâm HH và nội tiếp trong đường tròn (O)(O). Gọi D,E,FD, E, F tương ứng là chân các đường cao của tam giác ABCABC kẻ từ A,B,CA, B, C. Tia AOAO cắt BCBC tại MM, gọi P,QP, Q tương ứng là hình chiếu của MM trên các cạnh AC,ABAC, AB.

  1. a)

    Chứng minh tam giác HFEHFE đồng dạng với tam giác MPQMPQ.

  2. b)

    Chứng minh (ABAC)2=DBDC⋅MBMC\left(\dfrac{AB}{AC}\right)^2 = \dfrac{DB}{DC} \cdot \dfrac{MB}{MC}.

  3. c)

    Khi điểm AA di động trên (O)(O), dây cung BCBC cố định sao cho tam giác ABCABC nhọn. Đường thẳng chứa tia phân giác ngoài của góc BHC^\widehat{BHC} cắt AB,ACAB, AC lần lượt tại hai điểm R,NR, N. Đường tròn ngoại tiếp tam giác ARNARN cắt đường phân giác trong của BAC^\widehat{BAC} tại điểm thứ hai là KK. Chứng minh rằng đường thẳng HKHK luôn đi qua một điểm cố định.

Câu 4

1,0 điểm

Cho các số thực dương a,b,ca, b, c thỏa mãn ab+bc+ca=27ab+bc+ca=27. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=7a2+6ab+5b23a2+10ab+5b2+7b2+6bc+5c23b2+10bc+5c2+7c2+6ca+5a23c2+10ca+5a2P = \dfrac{7a^2+6ab+5b^2}{\sqrt{3a^2+10ab+5b^2}}+\dfrac{7b^2+6bc+5c^2}{\sqrt{3b^2+10bc+5c^2}}+\dfrac{7c^2+6ca+5a^2}{\sqrt{3c^2+10ca+5a^2}}.

    HẾT
    Đăng nhập để làm bài