Đề thi học sinh giỏi Toán 9 lần 2 năm 2025–2026 — Trường THCS Trần Hưng Đạo, Gia Lai

Câu 1

4,0 điểm

Cho biểu thức $P = \dfrac{x^{2} + x}{x^{2} - 2x + 1} : \left( \dfrac{x + 1}{x} + \dfrac{1}{x - 1} + \dfrac{2 - x^{2}}{x^{2} - x} \right)$

a)
Rút gọn P
b)
Tìm x để $P = \dfrac{-1}{2}$

Câu 2

4,0 điểm

a)
Cho $a + b + c = 0$ ; $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1$ . Chứng minh: $a^{4} + b^{4} + c^{4} = \dfrac{1}{2}$
b)
Chứng minh rằng: $\left( \dfrac{b - c}{a} + \dfrac{c - a}{b} + \dfrac{a - b}{c} \right) \left( \dfrac{a}{b - c} + \dfrac{b}{c - a} + \dfrac{c}{a - b} \right) = 9$ Nếu $a + b + c = 0$ .

Câu 3

4,0 điểm

Giải các phương trình và hệ phương trình sau:

a)
$\dfrac{1}{x^{2} + 5x + 6} + \dfrac{1}{x^{2} + 7x + 12} + \dfrac{1}{x^{2} + 9x + 20} + \dfrac{1}{x^{2} + 11x + 30} = \dfrac{1}{15}$
b)
$\begin{cases} \dfrac{x + 2}{x - 1} + \dfrac{2y}{y + 1} = 5 \\ \dfrac{x}{x - 1} - \dfrac{1}{y + 1} = \dfrac{3}{2} \end{cases}$

Câu 4

2,0 điểm

Một nhà máy sản xuất hai loại xi măng: loại I và loại II. Cứ sản xuất mỗi tấn xi măng loại I thì nhà máy thải ra $0,5$ kg $\text{CO}_2$ (carbon dioxide) và $0,3$ kg $\text{SO}_3$ (sulfur trioxide), sản xuất mỗi tấn xi măng loại II thì nhà máy thải ra $0,8$ kg $\text{CO}_2$ và $0,45$ kg $\text{SO}_3$ . Trung bình mỗi ngày, nhà máy nhận được thông số lượng khí thải $\text{CO}_2$ và $\text{SO}_3$ lần lượt là $1700$ kg và $975$ kg. Tính khối lượng xi măng loại I và loại II trung bình mỗi ngày nhà máy sản xuất được.

Câu 5

4,0 điểm

Cho hình vuông ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, trên tia đối tia CB lấy F sao cho $AE = CF$

a)
Chứng minh $\Delta EDF$ vuông cân
b)
Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Gọi I là trung điểm EF. Chứng minh O, C, I thẳng hàng.

Câu 6

2,0 điểm

Flycam là từ viết tắt của Fly camera. Đây là thiết bị bay không người lái có lắp camera hay máy ảnh để quay phim hoặc chụp ảnh từ trên cao. Một chiếc Flycam đang ở vị trí A cách cây cầu BC (theo phương thẳng đứng) một khoảng $AH = 120$ m. Biết góc tạo bởi phương AB, AC với các phương vuông góc với mặt cầu tại B, C lần lượt là $\widehat{ABx} = 30^{\circ}$ , $\widehat{ACy} = 45^{\circ}$ . Tính độ dài BC của cây cầu (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm của mét).

Sơ đồ minh họa vị trí Flycam tại A, chiều cao AH = 120 m và các góc $\widehat{ABx}=30^{\circ}$, $\widehat{ACy}=45^{\circ}$ tại B, C