Đề chọn đội tuyển học sinh giỏi Toán 9 năm 2025–2026 — Trường THCS Cầu Giấy, Hà Nội

Câu I

5,0 điểm

1)
Cho hai hộp kín, hộp thứ nhất chứa 8 cái thẻ được đánh số từ 1 đến 8, hộp thứ hai chứa 12 cái thẻ được đánh số từ 1 đến 12. Các thẻ có kích thước như nhau. Chọn ngẫu nhiên từ mỗi hộp một thẻ. Tính xác suất chọn được hai thẻ mà tích của hai số trên thẻ là một số chia hết cho 7.
2)
Cho $a,b,c \ge 0$ thỏa mãn
$\begin{cases} a^3 + 1 = b^2 + c \\ b^3 + 1 = c^2 + a \\ c^3 + 1 = a^2 + b \end{cases}$
Tính $P = (a+1)(b+1)(c+1)$ .

5,0 điểm

1)
Cho các số nguyên $a,b,c$ thỏa mãn $a+b+c$ chia hết cho 7 và $a^2 - 2b^2 + c^2$ chia hết cho $a+b+c$ . Chứng minh rằng $ab+bc+ca$ chia hết cho 49.
2)
Tìm các số nguyên $x, y$ thỏa mãn $2x^2 + 4xy + 7y = 6y^2 + 3x + 8$ .

3,0 điểm

1)
Cho $a,b,c$ là các số nguyên dương, chứng minh rằng có ít nhất 1 số trong 3 số $a^3b+1; b^3c+1; c^3a+1$ không chia hết cho $a^2+b^2+c^2$ .
2)
Cho $x,y,z$ là các số không âm có tổng là 1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của $P = x^2 + y^2 + z^2 + 6xyz$ .

6,0 điểm

Cho tam giác $ABC$ nhọn, $AB < AC$ . Dựng đường cao $AD, BE, CF$ . Kẻ $AT$ vuông góc với $EF$ tại $T$ .

1)
Chứng minh rằng $\dfrac{TE}{TF} = \dfrac{DB}{DC}$ .
2)
Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của $BE, CF$ . Trên $EF$ lấy $K, L$ sao cho $BK$ song song với $MT, CL$ song song với $NT$ . Chứng minh rằng $FK = EL$ .
3)
Giả sử $TM, TN$ cắt $AB, AC$ tương ứng tại $P, Q$ . Chứng minh rằng $EF$ đi qua trung điểm của $PQ$ .

1,0 điểm

Giả sử các tập hợp $A_1, A_2, \dots, A_n$ chứa các số thực thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

(1) Mỗi tập hợp có đúng 30 phần tử.

(2) Với hai tập hợp bất kỳ, có đúng một số thực thuộc cả hai tập đó.

(3) Không số thực nào thuộc tất cả các tập hợp trên.

Chứng minh rằng $n \le 871$ .