Đề kiểm tra học sinh giỏi Toán 9 lần 1 năm 2025–2026 — Trường THCS Nam Từ Liêm, Hà Nội

Giải phương trình sau $\frac{1}{x^2} + \frac{1}{(x+2)^2} = \frac{5}{16}$.

Cho $a,b,c$ là các số thực khác $0$ thỏa mãn các điều kiện

$(a+1)^2 = b^2 + 1; \quad (b+1)^2 = c^2 + 1; \quad (c+1)^2 = a^2 + 1.$

Tính giá trị của biểu thức $P = (a-b)(b-c)(c-a)$.

Cho các số nguyên $a,b$ thỏa mãn $a^2 + ab + 4b^2$ chia hết cho $9$. Chứng minh $a+2b$ chia hết cho $3$ và $a^2 - ab + 4b^2$ chia hết cho $9$.

Cho hai số nguyên dương $m,n$ và số nguyên tố $p$ thỏa mãn $p = \frac{m+n}{2} + 5\sqrt{mn}$. Chứng minh $p+12m$ và $p+12n$ là các số chính phương.

Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất. Giả sử xúc xắc xuất hiện mặt $b$ chấm. Tính xác suất để phương trình $x^2 + bx + 3 = 0$ có hai nghiệm phân biệt.

Với các số thực $a,b,c$ không âm thỏa mãn điều kiện $a+b+c = 1$, tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \frac{1}{1+ab} + \frac{1}{1+bc} + \frac{2}{1+4ca}$.

Chứng minh $IA \cdot IP = IC \cdot PA$.

Gọi $K$ là điểm sao cho $A$ là trung điểm của $IK$. Chứng minh tam giác $APK$ đồng dạng với tam giác $IPC$.

Gọi $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của hai đoạn thẳng $IC$ và $IP$; $Q$ là chân đường vuông góc kẻ từ $I$ xuống $PC$. Chứng minh $AQ$ đi qua trung điểm của đoạn thẳng $MN$.

Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(x; y)$ sao cho $x, y$ nguyên tố cùng nhau và

$4(x^3 - x) = y^3 - y.$

Trong một bảng ô vuông kích thước $100 \times 100$ ta điền vào mỗi ô một dấu $(+)$. Ta tiến hành biến đổi như sau: mỗi lần đổi ta đổi dấu tất cả các ô trong cùng một hàng hoặc trong cùng một cột (dấu $(+)$ thành $(-)$ và ngược lại). Hỏi sau một số hữu hạn bước biến đổi như trên, trên bảng có đúng $2026$ dấu $(-)$ hay không? Vì sao?