Đề thi học sinh giỏi Toán 9 lần 2 năm 2025–2026 — Trường THCS Nam Từ Liêm, Hà Nội

Giải hệ phương trình sau: $\begin{cases} x^2 - xy + y^2 = 7, \\ 7(x + y) = x^3 + 1. \end{cases}$

Cho hộp I chứa 8 chiếc thẻ cùng loại được đánh số từ 1 đến 8, hộp II chứa 9 chiếc thẻ cùng loại được đánh số từ 1 đến 9. Bạn Tuấn rút ngẫu nhiên từ mỗi hộp một chiếc thẻ và sẽ nhận được một phần quà nếu tổng hai số ghi trên hai chiếc thẻ được rút ra bằng 10. Tính xác suất để bạn Tuấn nhận được một phần quà.

Xét các số nguyên dương $a, b, c$ thỏa mãn $a^2 + b^2 + c^2$ chia hết cho 8. Đặt $x = |a^2 - b^2|;\quad y = |b^2 - c^2|;\quad z = |c^2 - a^2|.$ Chứng minh rằng trong các số $x, y, z$ có ít nhất một số chia hết cho 8.

Tìm tất cả cặp số nguyên $(x; y)$ thỏa mãn $(x + y)(2x + 3y)^2 = x + 2y - 3$.

Xét đa thức $P(x) = x^3 + ax + b$ với $a, b$ là các số hữu tỉ. Biết rằng đa thức $P(x)$ có một nghiệm là $2 + \sqrt{5}$. Tìm đa thức dư khi chia đa thức $P(x)$ cho đa thức $x^2 - 4x - 1$.

Với $a, b, c$ là các số thực không âm thỏa mãn điều kiện $a + b + c = 3$, tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \dfrac{1}{a + 5} + \dfrac{1}{bc^2 + 1}$.

Chứng minh $\Delta BMH \sim \Delta BCM$ và $AD = AC$.

Kẻ đường kính $DE$ của đường tròn $(I)$. Gọi $P$ là giao điểm của đường thẳng $EH$ và đường thẳng $CM$. Chứng minh $P$ là trung điểm của đoạn thẳng $CD$.

Tiếp tuyến tại điểm $M$ của đường tròn $(I)$ cắt đường thẳng $PA$ tại điểm $Q$. Chứng minh ba điểm $B, I, Q$ thẳng hàng.

Tìm tất cả số hữu tỉ dương $x$ sao cho $\dfrac{10x}{x^2 + 1}$ là số nguyên.

Cho bảng ô vuông $25 \times 25$. Ở bước đầu tiên, bạn Châu tô đỏ $k$ ô vuông bất kì của bảng. Sau đó, ở mỗi bước tiếp theo bạn Châu tô đỏ các ô vuông kề với ít nhất hai ô đã được tô đỏ (hai ô vuông được gọi là kề nhau nếu chúng có cạnh chung).