Đề thi học sinh giỏi Toán 9 cấp tỉnh năm 2024 — Sở GD&ĐT Quảng Nam

Câu 1

4,5 điểm

a)
Cho biểu thức $A = \dfrac{2x - 8\sqrt{x} + 3}{x + \sqrt{x} - 6} + \dfrac{\sqrt{x - 2\sqrt{x} + 1}}{\sqrt{x} - 2} - \dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 3}$ , với $x > 4$ .

Rút gọn biểu thức $A$ và tìm tất cả các số nguyên $x$ thỏa mãn $A \ge \dfrac{x - \sqrt{x}}{12}$ .
b)
Tìm tất cả các cặp số nguyên $(x; y)$ thỏa mãn $x^{3} + \dfrac{x^{2}}{2} + 2xy - 2x + y - 4 = 0$ .

Câu 2

4,5 điểm

a)
Giải phương trình $\dfrac{3x}{\sqrt{3x + 1} + 1} = \sqrt{x + 4}$ .
b)
Giải hệ phương trình
$\begin{cases} 2(x + 1)(2y + 1) + x + 2 = 0 \\ 4xy^{2} + 4y^{2} + 4xy - x - 2y - 6 = 0 \end{cases}$

Câu 3

3,0 điểm

Cho tam giác nhọn $ABC$ $(AB < AC)$ có ba đường cao $AD, BE, CF$ đồng quy tại $H$ . Đường tròn đường kính $AC$ cắt đoạn thẳng $BH$ tại $M$ . Trên đoạn thẳng $HC$ lấy điểm $N$ sao cho $AM = AN$ .

a)
Chứng minh $EB.EH = ED.EF$ .
b)
Chứng minh $N$ thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABD$ .

Câu 4

4,0 điểm

Cho tam giác nhọn $ABC$ $(AB < AC)$ có hai đường cao $AE, BD$ cắt nhau tại $H$ . Đường trung trực của đoạn thẳng $DH$ cắt $AE$ tại $M$ , cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCD$ tại $P$ và $Q$ ( $P$ nằm giữa $M$ và $Q$ ).

a)
Chứng minh $MD$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCD$ .
b)
Chứng minh $\widehat{APM} + \widehat{AQM} = \widehat{CBD}$ .
c)
Đường thẳng $AQ$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCD$ tại $F$ ( $F$ khác $Q$ ). Chứng minh $\widehat{APB} = \widehat{FPB}$ .

Câu 5

4,0 điểm

a)
Cho $p$ là số nguyên tố. Tìm tất cả các số nguyên dương $b$ sao cho nghiệm của phương trình bậc hai $x^{2} - bx + bp = 0$ là số nguyên.
b)
Cho ba số thực dương $x, y, z$ thỏa mãn $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 3$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $P = xy\left(x^{2} + y^{2} - \dfrac{1}{z}\right) + yz\left(y^{2} + z^{2} - \dfrac{1}{x}\right) + zx\left(z^{2} + x^{2} - \dfrac{1}{y}\right)$ .