Đề thi học sinh giỏi Toán 9 cấp tỉnh năm 2024–2025 — Sở GD&ĐT Hưng Yên

Cho $A = \dfrac{3}{\sqrt{x} + 2}$, với $x = \sqrt{\sqrt{3} - 1 + \sqrt{6 - \sqrt{49 - 8\sqrt{3}}}}$. Tính $T = A + A^{2} + A^{3} + \ldots + A^{2025}$.

Cho $a, b$ dương thoả mãn $a \neq b$; $2a + b = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $Q = \left(\dfrac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} - \dfrac{\sqrt{a} + \sqrt{b}}{\sqrt{a} - \sqrt{b}}\right)\left(\dfrac{1}{a} - \dfrac{1}{b}\right)$.

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, viết phương trình đường thẳng $(d)$ có hệ số góc âm đi qua điểm $M(-1; -5)$ và giao với parabol $(P): y = 4x^{2}$ tại đúng một điểm.

Giải hệ phương trình: $\begin{cases} (y^{2} - y + 1).\sqrt{x} - y^{3} - y + x = 0 & (1) \\ 2x^{2}y^{2} - x^{2} - 3y^{2} + 1 = \sqrt{x^{5} + y^{8} + 1} & (2) \end{cases}$

.

Tìm tất cả các cặp giá trị nguyên $(x; y)$ thỏa mãn phương trình

$x^{2}y^{2} - 4xy^{2} - 2x^{3} + 5x^{2} + 4y^{2} + 4x - 32 = 0.$

Một hộp chứa 9 thẻ được đánh số từ 1 đến 9. Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra hai thẻ. Tính xác suất của biến cố $E$: “Tích hai số ghi trên thẻ là một số chẵn”.

Chứng minh: $OM = \dfrac{1}{2}AH$.

Gọi $K$ là giao điểm các đường phân giác của các góc $\widehat{ABH}$ và $\widehat{ACH}$. Chứng minh đường thẳng $MK$ đi qua trung điểm của đoạn $AH$.