Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 9 năm 2025 — Phòng GD&ĐT thị xã Cai Lậy, Tiền Giang

Thời gian: 150 phút
Số câu: 5 câu
Đáp án: Có đáp án

Câu 1

4,0 điểm

Cho biểu thức $A = \dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-2} + \dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2} + \dfrac{2+5\sqrt{x}}{4-x}$ với $x \ge 0$ và $x \ne 4$ .

1)
Rút gọn $A$ .
2)
Tính giá trị của $A$ khi $x = \dfrac{4}{9}$ .
3)
Tìm giá trị của $x$ để $A$ có giá trị nguyên.

Câu 2

4,0 điểm

1)
Cho hệ phương trình: $\begin{cases} mx - 2y = 2 \\ 2x + my = 5 \end{cases}$ (với $m$ là tham số).
1. a)
  Giải hệ phương trình trên khi $m = 6$ .
2. b)
  Tìm $m$ để hệ phương trình đã cho có nghiệm $(x; y)$ thỏa mãn:
  
  $x + y - 2024 = \frac{-2025m^{2} + 14m - 8.102}{m^{2} + 4}.$
2)
Giải phương trình: $x^{4} - 5x^{3} + 8x^{2} - 5x + 1 = 0$ .

Câu 3

4,0 điểm

1)
Biết rằng $a, b$ là các số thỏa mãn $a > b > 0$ và $a.b = 1$ .

Chứng minh: $\dfrac{a^{2}+b^{2}}{a-b} \ge 2\sqrt{2}$ .
2)
Cho ba số $a, b, c \in Z$ thỏa mãn $a + b + c = 2022^{2023}$ .

Chứng minh: $a^{3} + b^{3} + c^{3}$ chia hết cho $6$ .

Câu 4

2,0 điểm

Nhà bạn An được ông nội cho một mảnh đất hình chữ nhật. Khi bạn Bình đến nhà bạn An chơi, An đố Bình tìm ra kích thước của mảnh đất khi cho biết: “Mảnh đất đó có chiều dài gấp bốn lần chiều rộng. Nếu giảm chiều rộng đi $2m$ , tăng chiều dài lên gấp đôi thì diện tích mảnh đất đó sẽ tăng thêm $20m^2$ ”. Các em hãy giúp Bình tìm ra chiều dài và chiều rộng của mảnh đất nhà bạn An.

Câu 5

6,0 điểm

1)
Cho góc nhọn $\alpha$ biết $cos\alpha = \frac{5}{13}$ . Tính $sin\alpha$ và $tan\alpha$ .
2)
Cho đường tròn tâm $O$ , bán kính $R$ có đường kính $AB$ cố định. $C$ là một điểm thay đổi trên đường tròn ( $C$ khác $A$ và $B$ ). Kẻ $CH$ vuông góc $AB$ ( $H$ thuộc $AB$ ), $I$ là trung điểm của $AC$ . Đường thẳng $OI$ cắt tiếp tuyến tại $A$ của đường tròn $(O; R)$ tại $M$ , đường thẳng $MB$ cắt đường thẳng $CH$ tại $K$ .
1. a)
  Chứng minh $MC$ là tiếp tuyến của $(O; R)$ .
2. b)
  Chứng minh $IK$ song song với $AB$ .

HẾT