Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 9 năm 2024–2025 — Sở GD&ĐT Tuyên Quang

Câu 1

5,0 điểm

a)
Rút gọn biểu thức
$P = \left(\frac{x+\sqrt{x}}{x\sqrt{x}+x+\sqrt{x}+1} + \frac{1}{x+1}\right) : \left(\frac{1}{\sqrt{x}-1} - \frac{2\sqrt{x}}{x\sqrt{x}-x+\sqrt{x}-1}\right), \text{ với } x \geq 0, x \neq 1.$
b)
Có một mảnh đất hình tam giác đều với độ dài mỗi cạnh bằng 24 mét. Người ta muốn cắt ra một ô đất có dạng hình chữ nhật như hình bên để làm nhà. Hỏi diện tích ô đất hình chữ nhật lớn nhất bằng bao nhiêu?

Câu 2

5,0 điểm

a)
Cho parabol $(P): y = x^{2}$ và đường thẳng $d: y = -2x - m + 3$ ( $m$ là tham số). Tìm tất cả các giá trị của $m$ để $(P)$ và $d$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt $A, B$ cùng nằm về bên trái trục tung ( $A, B$ không trùng gốc tọa độ).
b)
Giải hệ phương trình: $\begin{cases} \sqrt{x+1} + \sqrt{y+1} = \sqrt{15} \\ x + y = 3 + 4\sqrt{xy} \end{cases}$

.

Câu 3

5,0 điểm

Cho tam giác nhọn $ABC$ $(AB < AC)$ nội tiếp đường tròn $(O)$ . Gọi $I$ là điểm chính giữa cung $BC$ không chứa $A$ . Trên cạnh $AC$ lấy điểm $K$ khác $C$ sao cho $IK = IC$ .

a)
Chứng minh rằng $ABK$ là tam giác cân.
b)
Đường thẳng $BK$ cắt $(O)$ tại $D$ $(D \neq B)$ . Trên $DI$ lấy điểm $M$ sao cho $CM$ song song với $AD$ . Đường thẳng $KM$ cắt đường thẳng $BC$ tại $N$ . Chứng minh rằng $DI$ là đường trung trực của đoạn thẳng $KC$ và $KC$ là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác $BKN$ .
c)
Đường tròn ngoại tiếp tam giác $BKN$ cắt $(O)$ tại $P$ $(P \neq B)$ . Chứng minh rằng đường thẳng $PK$ đi qua trung điểm của đoạn thẳng $AD$ .

Câu 4

3,0 điểm

Cho đa thức $P(x) = x^{101} + ax^{2} + bx + c$ , với $a, b, c \in \mathbb{Z}$ có ba nghiệm nguyên là $x_{1}, x_{2}, x_{3}$ . Chứng minh rằng:

a)
$ax_{1}^{2} + (b+1)x_{1} + c$ chia hết cho $101$ .
b)
$(a+b+c+1)(x_{1}-x_{2})(x_{2}-x_{3})(x_{3}-x_{1})$ chia hết cho $101$ .

Câu 5

2,0 điểm

Ban đầu, Thầy giáo có 20 chiếc kẹo chia đều thành 2 phần quà. Mỗi lần thay đổi, Thầy giáo lấy ở mỗi phần quà ra 2 chiếc kẹo để lập một phần quà mới (phần quà nào hết kẹo thì bỏ đi). Hỏi sau hữu hạn lần thay đổi, Thầy giáo có nhiều nhất bao nhiêu phần quà và số kẹo ở mỗi phần quà là bao nhiêu?