Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 9 năm 2025 — Sở GD&ĐT Bình Phước

Câu 1

5,0 điểm

1)
Cho biểu thức $P=\dfrac{x-6\sqrt{x}+5}{x-\sqrt{x}-2}+\dfrac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}+\dfrac{1}{\sqrt{x}-2}+1$ , với $x \ge 0; x \ne 4$
1. a)
  Rút gọn biểu thức $P$ .
2. b)
  Tìm $x$ nguyên để biểu thức $P$ nhận giá trị nguyên.
2)
Cho $x=\sqrt{14-6\sqrt{5}}+\sqrt{6+2\sqrt{5}}$ . Tính giá trị của biểu thức $Q=(x^3-5x-45)^{2025}$ .
3)
Cho ba số thực $x, y, z$ khác $0$ thoả mãn $x+y+z=0$ . Chứng minh rằng:
$\frac{(x+y-z)^3+(y+z-x)^3+(z+x-y)^3}{x(y-z)^2+y(z-x)^2+z(x-y)^2+xyz}=3.$

Câu 2

5,0 điểm

1)
Giải phương trình $x^2+x-1=3\sqrt{x^3-2x^2+2x-1}$ .
2)
Giải hệ phương trình $\begin{cases} x^2+xy+3=y^2+2y & (1) \\ (x^2+3)(x-y+2)=3y & (2) \end{cases}$ .
3)
Một bể nước (ban đầu chưa có nước) được cung cấp nước bởi ba vòi. Biết rằng nếu từng vòi cung cấp nước cho bể thì vòi thứ nhất sẽ làm đầy bể nhanh hơn vòi thứ hai 10 giờ, vòi thứ ba lại làm đầy bể nhanh hơn vòi thứ nhất 8 giờ; còn nếu vòi thứ nhất và thứ hai cùng cung cấp nước cho bể thì thời gian để chúng làm đầy bể bằng với thời gian vòi thứ ba làm đầy bể. Hỏi nếu cả ba vòi cùng cung cấp nước cho bể thì chúng làm đầy bể trong bao lâu?

Câu 3

5,0 điểm

Cho nửa đường tròn $(O; R)$ đường kính $AB$ . Gọi $C$ là trung điểm của đoạn thẳng $AO$ . Đường thẳng $a$ vuông góc với $AB$ tại $C$ , cắt nửa đường tròn $(O; R)$ tại $I$ . Trên đoạn $CI$ lấy điểm $K$ bất kỳ ( $K$ không trùng với $C$ và $I$ ). Tia $AK$ cắt nửa đường tròn $(O; R)$ tại $M$ . Tiếp tuyến của nửa đường tròn $(O; R)$ tại $M$ cắt đường thẳng $a$ tại $N$ , tia $BM$ cắt đường thẳng $a$ tại $D$ .

1)
Chứng minh: Tứ giác $ADMC$ nội tiếp và tam giác $MNK$ là tam giác cân.
2)
Khi $K$ là trung điểm của đoạn thẳng $CI$ , tính diện tích tam giác $ABD$ theo $R$ .
3)
Chứng minh rằng khi $K$ chuyển động trên đoạn thẳng $CI$ ( $K$ không trùng với $C$ và $I$ ) thì tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $AKD$ luôn nằm trên đường thẳng cố định.

Câu 4

2,0 điểm

1)
Một cốc thuỷ tinh có mặt trong dạng hình trụ với chiều cao bằng $15 cm$ đựng đầy nước và thể tích nước chứa được trong cốc bằng $240\pi cm^3$ . Người ta thả vào cốc một viên bi sắt hình cầu có bán kính bằng bán kính đáy mặt trong của cốc nước, viên bi sắt ngập toàn bộ trong nước. Tính thể tích nước bị tràn ra khỏi cốc. $(\pi \approx 3,14,$ kết quả làm tròn đến hàng phần chục).
2)
Một hộp đựng $100$ viên bi có cùng khối lượng và kích thước, trong đó có $35$ viên bi màu đỏ, $25$ viên bi màu xanh và số còn lại là bi màu vàng. Bạn An lấy ngẫu nhiên một viên bi rồi bỏ lại vào hộp.
1. a)
  Tính xác suất để bạn An lấy được viên bi màu vàng.
2. b)
  Bạn An được mẹ cho thêm $x$ viên bi màu xanh vào trong hộp. Tìm $x$ , biết rằng khi đó xác suất để bạn An lấy được viên bi màu vàng là $\frac{1}{3}$ .

Câu 5

3,0 điểm

1)
Giải phương trình nghiệm nguyên: $4x^2 + 8x - 2 = 6xy + 9y$ .
2)
Cho ba số dương $a, b, c$ thỏa mãn $a + b + c = 1$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
$Q = \frac{3a}{a + \sqrt{a + bc}} + \frac{3b}{b + \sqrt{b + ac}} + \frac{3c}{c + \sqrt{c + ab}}.$