Đề thi học sinh giỏi Toán 8 vòng 2 năm 2024–2025 — Trường THCS Cao Xuân Huy, Nghệ An

Cho các số thực a, b thỏa mãn: $a^2 + b^2 + ab - a + b + 1 = 0$.

Tính giá trị biểu thức: $M = 7a^3 - 2b^4 + 2022$.

Cho các số nguyên dương a, b, c thỏa mãn $a^2 + b^2 = c^2$. Chứng minh rằng ab chia hết cho $a + b + c$.

Tìm tất cả các cặp số nguyên tố $(p; q)$ thỏa mãn $p^2 - 5q^2 = 4$.

Giải phương trình: $(x^2 + x + 2)^3 - (x+1)^3 = x^6 + 1$

Người ta giăng lưới để nuôi riêng một loại cá trên một góc hồ. Biết rằng lưới được giăng theo một đường thẳng từ một vị trí trên bờ ngang đến một vị trí trên bờ dọc và phải đi qua một cái cọc đã cắm sẵn ở vị trí $A$. Hỏi diện tích nhỏ nhất có thể giăng khu nuôi cá riêng là bao nhiêu, biết rằng khoảng cách từ cọc đến bờ ngang là 5m và khoảng cách từ cọc đến bờ dọc là 12m (hình vẽ bên).

Bác Xuân vay 20.000.000 đồng của ngân hàng để làm kinh tế. Trong một năm đầu bác chưa trả được nên số tiền lãi trong năm đầu được chuyển thành vốn để tính lãi năm sau. Sau 2 năm bác Xuân phải trả là 23.540.000 đồng. Hỏi lãi suất cho vay là bao nhiêu phần trăm trong một năm đầu? Biết rằng trong năm sau ngân hàng đã giảm 30% lãi suất.

Chứng minh: $AD.HD = BD.CD$

Chứng minh: H là giao điểm của các đường phân giác của tam giác DEF.

Gọi M là trung điểm của BC. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với HM, cắt các đường thẳng AB và AC lần lượt tại P và Q. Chứng minh: $HP = HQ$.