Đề khảo sát học sinh giỏi Toán 8 năm 2024–2025 — Phòng GD&ĐT huyện Kim Thành, Hải Dương

Câu 1

2,0 điểm

1)
Cho biểu thức: $A = \left[\dfrac{2}{3x} - \dfrac{2}{x+1} \cdot \left(\dfrac{x+1}{3x} - x - 1\right)\right] : \dfrac{x-1}{x}$ (với $x \neq 0; x \neq -1; x \neq 1$ )

Rút gọn A và tìm giá trị nguyên của $x$ để A nhận giá trị nguyên.
2)
Tìm đa thức $f(x)$ biết: $f(x)$ chia cho $x - 3$ dư $2$ , $f(x)$ chia cho $x + 4$ dư $9$ , và $f(x) : x^{2} + x - 12$ được thương là $x^{2} + 3$ và còn dư

Câu 2

2,0 điểm

1)
Giải phương trình: $\dfrac{1}{x^{2} + 9x + 20} + \dfrac{1}{x^{2} + 11x + 30} + \dfrac{1}{x^{2} + 13x + 42} = \dfrac{1}{18}$
2)
Giải hệ phương trình $\begin{cases} x + y + xy + 1 = 0 \\ 3x - 2y = 22 \end{cases}$

Câu 3

2,0 điểm

1)
Tìm các cặp số $(x; y)$ thỏa mãn $x, y \in \mathbb{Z}$ và $6x^{2} + y^{2} + 5xy - 8x - 3y + 7 = 0$
2)
Cho $x; y; z$ là các số nguyên và $\begin{cases} P = (x+2023)^{5} + (2y-2024)^{5} + (3z+2025)^{5} \\ S = x + 2y + 3z + 2024 \end{cases}$

Chứng minh rằng $P$ chia hết cho $30$ khi và chỉ khi $S$ chia hết cho $30$ .

Câu 4

3,0 điểm

1)
Cho tam giác ABC vuông tại A. Chứng minh rằng: $\tan \dfrac{\widehat{ABC}}{2} = \dfrac{AC}{AB + BC}$
2)
Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn. Các đường cao $AD, BE, CF$ cắt nhau tại $H$ .
1. a)
  Chứng minh tam giác AEF đồng dạng với tam giác $ABC$ .
2. b)
  Gọi $O$ là trung điểm của $BC$ , $I$ là trung điểm của $AH$ . Giao điểm $EF$ và $OI$ cắt nhau tại $K$ . Chứng minh rằng: $AH^{2} = 4IK.IO$

Câu 5

1,0 điểm

Xét hai số thực $a, b$ sao cho $1 \le a \le 2; 1 \le b \le 2$ . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A = \left(a + b^{2} + \dfrac{4}{a^{2}} + \dfrac{2}{b}\right)\left(b + a^{2} + \dfrac{4}{b^{2}} + \dfrac{2}{a}\right)$ .