Đề khảo sát học sinh giỏi Toán 8 năm 2024–2025 — Phòng GD&ĐT Ninh Giang, Hải Dương

Phân tích đa thức thành nhân tử: $n^5 - 5n^3 + 4n$

Rút gọn biểu thức $A = \dfrac{2x - 9}{x^2 - 5x + 6} - \dfrac{x + 3}{x - 2} - \dfrac{2x + 1}{3 - x}$ với $x \neq 2; x \neq 3.$

Cho đa thức $f(x) = x^2 + ax + b$. Tìm các hệ số $a, b$ biết đa thức $f(x)$ có nghiệm bằng 2 và $f(x)$ chia hết cho đa thức $2x - 3$.

Giải phương trình: $(3x - 2)(x + 1)^2(3x + 8) = -16$

Tìm các số nguyên $(x; y)$ thỏa mãn $x^2 + 5xy + 6y^2 + x + 2y - 2 = 0$

Cho $a, b, c, d$ là các số nguyên thỏa mãn $a^2 = b^2 + c^2 + d^2$. Chứng minh $abcd + 2025$ viết được dưới dạng hiệu của hai số chính phương.

Chứng minh $\Delta AEF$ đồng dạng với $\Delta ABC$

Chứng minh $AH.AE + CH.CF = AC^2$

Chứng minh $\dfrac{(AB + AC + BC)^2}{AD^2 + BE^2 + CF^2} \ge 4$

Trong 45 học sinh làm bài kiểm tra không có ai bị điểm dưới 2, chỉ có 2 học sinh được điểm 10. Chứng minh rằng ít nhất cũng tìm được 6 học sinh có điểm kiểm tra bằng nhau (điểm kiểm tra là một số tự nhiên từ 0 đến 10).

Xét $x, y$ là hai số thực dương thay đổi thỏa mãn điều kiện $x.y = 1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A = \dfrac{2(x^3 + y^3)}{(x^4 + y^2)(x^2 + y^4)}$.