Đề chọn học sinh giỏi Toán 8 năm 2024–2025 — Phòng GD&ĐT huyện Vũ Thư, Thái Bình

Câu 1

4,0 điểm

1)
Phân tích đa thức sau thành nhân tử: $A = x^4 + x^2 + 1$
2)
Cho $a, b, c$ là ba số thỏa mãn: $a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca.$ Tính giá trị của biểu thức: $B = \dfrac{a + b}{c} + \dfrac{b + c}{a} - \dfrac{2025c + 2025a}{b}.$

Câu 2

5,0 điểm

Cho biểu thức: $P = \dfrac{x - 2y}{2 - 2x^2 - y} \cdot \left( \dfrac{x - y}{2y - x} + \dfrac{x^2 + y^2 + y - 2}{2y^2 + xy - x^2} \right)$ (với $x \neq -y, x \neq 2y, y \neq 2 - 2x^2$ ).

1)
Rút gọn $P$ .
2)
Tính giá trị của $P$ khi $x, y$ thỏa mãn: $2x^2 + y^2 - 4x - 6y + 11 = 0.$
3)
Cho $y = 0$ và $x \ge 2$ tìm giá trị nhỏ nhất của $Q = P + x.$

Câu 3

4,0 điểm

1)
Cho đa thức $P(x) = x^4 + ax^3 + bx^2 + cx + d$ biết đa thức $P(x)$ chia cho: $x - 1, x - 2, x - 3$ đều dư là $6$ và $P(-1) = -66.$ Tìm đa thức $P(x).$
2)
Tìm các số nguyên $x, y$ thỏa mãn: $x^2 + x + 10 = y^2.$

Câu 4

4,0 điểm

Cho tam giác $MBC$ vuông tại $M$ , kẻ $MD$ vuông góc với $BC$ tại $D$ . Trên đoạn thẳng $MD$ lấy điểm $H$ ( $H \neq M, D$ ). Qua $C$ vẽ đường thẳng vuông góc với tia $BH$ tại $E$ , qua $B$ vẽ đường thẳng vuông góc với tia $CH$ tại $F$ . Gọi $A$ là giao điểm của $CE$ và $BF$ .

1)
Chứng minh: $AE.AC = AF.AB$ và ba điểm $A, M, D$ thẳng hàng.
2)
Trên tia đối của tia $FC$ lấy điểm $K$ sao cho $BK = BM$ chứng minh $\widehat{BKA} = 90^0.$
3)
Giả sử $\widehat{BAC} = 45^0.$ Chứng minh $S_{AEF} = S_{BCEF}$ ( $S_{AEF}, S_{BCEF}$ lần lượt là ký hiệu diện tích của tam giác $AEF$ và tứ giác $BCEF$ ).

Câu 5

2,0 điểm

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ , hai đường phân giác trong của tam giác là $BD, CE$ cắt nhau tại $O$ . Chứng minh: $\dfrac{BD^2}{BO^2} + \dfrac{CE^2}{CO^2} \ge 4.$ Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

Câu 6

1,0 điểm

Trong một khu rừng hình vuông cạnh có độ dài $1000$ mét, người ta trồng tất cả $4.500$ cây cổ thụ. Biết rằng cây to nhất có đường kính gốc là $0,5$ mét. Chứng minh rằng trong khu rừng đó có ít nhất $60$ mảnh đất có diện tích $200$ m $^2$ không có cây cổ thụ nào?