Đề thi học sinh giỏi Toán 8 vòng 1 năm 2024–2025 — Phòng GD&ĐT Yên Định, Thanh Hóa

Câu 1

4,0 điểm

1)
Cho biểu thức: $P = \left(\dfrac{x}{x^{2} - 25} + \dfrac{5 - x}{x^{2} + 5x}\right) : \dfrac{2x - 5}{2x^{2} + 10x} + \dfrac{2x}{5 - x}$ với $x \neq 0; x \neq \pm 5; x \neq \dfrac{5}{2}$

Rút gọn biểu thức P.
2)
Cho ba số a, b, c khác 0 và thỏa mãn: $a + b + c = 0$ . Tính giá trị của biểu thức:
$P = \frac{1}{a^{2} + b^{2} - c^{2}} + \frac{1}{b^{2} + c^{2} - a^{2}} + \frac{1}{c^{2} + a^{2} - b^{2}}.$

Câu 2

4,0 điểm

1)
Giải phương trình: $(4x - 5)^{2}(2x - 3)(x - 1) = 9$
2)
Cho $a, b, c$ là các số thực đôi một khác nhau thỏa mãn $a^{3} + 1 = 3a; b^{3} + 1 = 3b; c^{3} + 1 = 3c$ .

Chứng minh:
1. a)
  $a + b + c = 0$
2. b)
  $a^{2} + b^{2} + c^{2} = 6$

Câu 3

4,0 điểm

1)
Tìm tất cả các số x, y nguyên thỏa mãn: $x^{4} + y + 4 = y^{2} - x^{2}$
2)
Tìm tất cả các số nguyên tố p có dạng $p = a^{2} + b^{2} + c^{2}$ , trong đó a, b, c là các số nguyên dương thỏa mãn $a^{4} + b^{4} + c^{4}$ chia hết cho p.

Câu 4

6,0 điểm

Cho hình vuông ABCD có cạnh là a. Điểm E thuộc cạnh BC, F là giao điểm của AE và DC, G là giao điểm của DE và BF. Trên tia đối của tia DC lấy điểm M sao cho BE = DM. Gọi T là trung điểm của EM.

1)
Chứng minh tam giác AEM vuông cân và ba điểm B, T, D thẳng hàng.
2)
Gọi I, K theo thứ tự là giao điểm của AB với CG và DG. Chứng minh IE song song với BD.
3)
Tìm vị trí điểm E trên cạnh BC để tổng BK+CF đạt GTNN

Câu 5

2,0 điểm

Cho hai số thực dương x, y thoả mãn: $x + y + xy = 3$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P = \dfrac{1}{x + y} + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}$