Đề thi học sinh giỏi Toán 8 năm 2026 — Trường THCS Hợp Thành, Thanh Hóa

Câu 1

2,0 điểm

Rút gọn biểu thức $A = \left(\dfrac{x-1}{(x-1)^2 + 3x} - \dfrac{(x-1)^2 - x}{x^3 - 1} + \dfrac{1}{x-1}\right) : \dfrac{x^2 + 2x + 1}{x-1}$ , với $x \neq \pm 1$ .

Câu 2

2,0 điểm

Cho các số thực $a, b, c$ thỏa mãn $a + b + c = 1$ và $a^3 + b^3 + c^3 = 4$ .

Tính giá trị của biểu thức $P = \dfrac{1}{a + bc} + \dfrac{1}{b + ca} + \dfrac{1}{c + ab}$ .

Câu 3

2,0 điểm

Tìm $x$ , biết: $\left(\dfrac{x+1}{x-2}\right)^2 + \dfrac{x+1}{x-4} - 12\left(\dfrac{x-2}{x-4}\right)^2 = 0$ .

Câu 4

2,0 điểm

Có 3 hộp đựng thẻ. Hộp 1 chứa các tấm thẻ đánh số $\{1; 2; 3\}$ , hộp 2 chứa các tấm thẻ đánh số $\{2; 4; 6; 8\}$ , hộp 3 chứa các tấm thẻ đánh số $\{1; 3; 5; 7; 9; 11\}$ . Từ mỗi hộp rút ngẫu nhiên một tấm thẻ rồi cộng ba số trên ba tấm thẻ với nhau.

Tính xác suất để kết quả được chọn là một số lẻ.

Câu 5

2,0 điểm

1)
Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình $x^2(1 - y^2) + x(y + 2) + 2 = xy(x + y) - y$ .
2)
Cho ba số $a, b, c$ là ba số nguyên dương thỏa mãn $\dfrac{4}{a} + \dfrac{2}{b} = \dfrac{1}{c}$ .

Chứng minh $Q = a^2 + 4b^2 + 16c^2$ là một số chính phương.

Câu 6

1,5 điểm

Hai bến sông A và B cách nhau 40km. Cùng một lúc, một chiếc canô xuôi dòng từ A đến B và một chiếc bè cùng trôi từ A đến B với vận tốc 3km/h. Sau khi đến B, canô quay về A ngay và gặp chiếc bè ở một địa điểm cách B là 32km.

Tính vận tốc của canô đối với dòng nước.

Câu 7

1,5 điểm

Trong hình vẽ bên, khi bạn K đứng ở vị trí $B$ , K thấy bức tường $MN$ vừa che khuất một cây xanh phía sau tường. Biết khoảng cách từ mắt K đến mặt đất là $AB = 1,5\,m$ , chiều cao bức tường là $MN = 2,5\,m$ , khoảng cách từ K đến bức tường là $BN = 0,5\,m$ và khoảng cách từ bức tường đến cây xanh là $NC = 2,5\,m$ .

Tính chiều cao của cây xanh phía sau bức tường.

Hình vẽ minh họa người quan sát tại B, bức tường MN và cây xanh CD phía sau

Câu 8

5,5 điểm

Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn $(AB < AC)$ . Các đường cao $AD, BE, CF$ cắt nhau tại $H$ . Đường thẳng qua $E$ và $F$ cắt $BC$ tại $K$ . Đường thẳng qua $B$ song song $AC$ cắt $AK, AD$ lần lượt tại $P, Q$ .

a)
Chứng minh $\Delta ABC$ đồng dạng $\Delta AEF$ , và $AB.BF + AC.CE = BC^2$ .
b)
Qua $F$ kẻ đường thẳng song song $AC$ cắt $AK, AD$ lần lượt tại $M, N$ . Chứng minh $F$ là trung điểm của $MN$ .
c)
Chứng minh rằng $\dfrac{(AB + AC + BC)^2}{AD^2 + BE^2 + CF^2} \geq 4$ .

Câu 9

1,5 điểm

Một đường dây điện được nối từ nhà máy ở vị trí A đến hòn đảo C. Khoảng cách ngắn nhất từ C đến đất liền là $CB = 1\text{km}$ , khoảng cách từ B đến A là $4\text{km}$ . Chi phí mỗi km dây điện làm dưới biển là $50.000$ USD (nối dây điện từ đất liền ra đảo), chi phí mỗi km dây điện làm trên mặt đất là $30.000$ USD (nối dây điện giữa hai vị trí trên đất liền).

Sơ đồ minh họa đường dây điện nối từ hòn đảo C đến điểm S trên bờ AB và nhà máy tại A

Hỏi điểm $S$ trên bờ (nằm trên đường thẳng $AB$ ) cách $A$ bao nhiêu km để tổng chi phí mắc điện từ $A$ đến $S$ và từ $S$ đến $C$ là thấp nhất?