Đề thi học sinh giỏi Toán 8 năm 2025–2026 — UBND phường Nam Sầm Sơn, Thanh Hóa

Rút gọn biểu thức:

Cho các số thực $a,b,c \neq 0$ và không phải là các số đối của nhau, thỏa mãn $ab + bc + ca = 202$. Tính giá trị biểu thức: $B = \dfrac{(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2}{(a^2 + 202)(b^2 + 202)(c^2 + 202)}$.

Giải phương trình sau: $(x+1)(x+2)(x-6)(x-7) = 180$.

Có 3 hộp đựng thẻ. Hộp 1 chứa các tấm thẻ đánh số $\{1;2;3\}$. Hộp 2 chứa các tấm thẻ đánh số $\{2;4;6;8\}$. Hộp 3 chứa các tấm thẻ đánh số $\{1;3;5;7;9;11\}$. Từ mỗi hộp rút ngẫu nhiên một tấm thẻ rồi cộng ba số trên ba tấm thẻ với nhau. Tính xác suất để kết quả được chọn là một số lẻ.

Tìm các số nguyên dương $x,y$ thỏa mãn: $65(x^3 y^3 + x^2 + y^2) = 81(xy^3 + 1)$

Cho $a,b,c$ là các số nguyên dương và $p$ là số nguyên tố thỏa mãn $0 < a < b < c < p$. Biết rằng $a^3,b^3,c^3$ có cùng số dư khi chia cho $p$, chứng minh rằng $a^2 + b^2 + c^2$ chia hết cho $a + b + c$.

Cho tam giác $ABC$ nhọn, $AB < AC$. Các đường cao $AD, BE, CF$ cắt nhau tại $H$ ($D \in BC, E \in AC; F \in AB$).

Một khối chóp đựng nước có dạng hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ có chiều cao bằng $9$ dm, diện tích toàn phần bằng $204 dm^2$ và diện tích xung quanh bằng $168 dm^2$. Giả sử người ta sử dụng khối chóp này để chứa nước tưới tiêu cho cây hoa màu. Biết rằng cứ cách một ngày sẽ phải tưới nước một lần, mỗi lần tưới hết $10$ lít nước. Hỏi sau bao nhiêu ngày sẽ dùng hết số nước trong khối chóp?

Cho tam giác $ABC$ có ba góc nhọn và có trực tâm $H$. Gọi $D, E, F$ lần lượt là chân ba đường cao kẻ từ các đỉnh $A, B, C$ của tam giác $ABC$.

Chứng minh rằng $\left(\frac{AB}{HF}\right)^2 + \left(\frac{BC}{HD}\right)^2 + \left(\frac{CA}{HE}\right)^2 \geq 36$.

Một giải cầu lông có $n (n \geq 2)$ vận động viên tham gia thi đấu theo thể thức vòng tròn một lượt (hai vận động viên bất kỳ thi đấu với nhau đúng một trận, không có kết quả hoà). Chứng minh rằng tổng các bình phương số trận thắng và tổng các bình phương số trận thua của các vận động viên là bằng nhau.