Đề thi học sinh giỏi Toán 8 năm 2025–2026 — Phòng VHXH xã Quảng Bình, Thanh Hóa

Câu 1

2,0 điểm

Rút gọn biểu thức

R = \left(\frac{x-1}{x^{2}-2x} + \frac{x+1}{x^{2}+2x} - \frac{4}{x^{3}-4x}\right) : \frac{4.052}{x}. \text{ (với } x \neq 0; x \neq \pm 2 \text{)}

Câu 2

2,0 điểm

Cho các số thực $x,y,z$ khác $0$ , đôi một khác nhau và thỏa mãn: $x^{2} - xy = y^{2} - yz = z^{2} - zx$ . Tính $A = \dfrac{x}{z} + \dfrac{z}{y} + \dfrac{y}{x}$

Câu 3

2,0 điểm

Tìm $x$ biết: $\left(x^{2} - 2x\right)^{2} + 3x^{2} - 6x = -2$

Câu 4

2,0 điểm

Chọn ngẫu nhiên hai số nguyên dương nhỏ hơn $13$ . Tính xác suất để hai số được chọn là hai số nguyên tố trong đó có một số chẵn và một số lẻ.

Câu 5

2,0 điểm

Tìm tất cả các cặp số nguyên $(x; y)$ thỏa mãn:

x^{2} + 2xy + 7(x + y) + 2y^{2} + 10 = 0

Câu 6

2,0 điểm

Cho $n$ số nguyên dương sao cho $4n+13$ và $5n+16$ là các số chính phương. Chứng minh rằng $2023n+45$ chia hết cho $24$ .

Câu 7

4,0 điểm

Cho tam giác $ABC$ có $3$ góc nhọn $(AB < AC)$ có $3$ đường cao $AD, BE, CF$ cắt nhau tại $H$ .

a)
$AB.AF = AC.AE$ và $\Delta AEF \sim \Delta ABC$
b)
Tia $EF$ cắt đường thẳng $BC$ tại $K$ , chứng minh $CD.FK = CK.FD$

Câu 8

2,0 điểm

Cho tam giác $ABC$ và điểm $M$ nằm trong tam giác. Tia $Mx$ song song với $AB$ cắt $BC$ tại $D$ , tia $My$ song song với $BC$ cắt $AC$ tại $E$ và tia $Mz$ song song với $AC$ cắt $AB$ tại $F$ . Chứng minh rằng: $3S_{DEF} \leq S_{ABC}$ ( $S_{ABC}$ là diện tích tam giác $ABC$ , $S_{DEF}$ là diện tích tam giác $DEF$ ).

Câu 9

2,0 điểm

Trên một đường tròn, lấy $1000$ điểm phân biệt, các điểm được tô màu xanh và màu đỏ xen kẽ nhau. Mỗi điểm được gán với một giá trị là một số thực khác $0$ , giá trị của mỗi điểm màu xanh bằng tổng giá trị của hai điểm màu đỏ kề với nó, giá trị của điểm màu đỏ bằng tích giá trị của hai điểm màu xanh kề với nó. Tính tổng giá trị của $1000$ điểm trên.