Đề thi học sinh giỏi Toán 8 năm 2025–2026 — Trường THCS Tân Thọ, Thanh Hóa

Câu 1

4,0 điểm

1)
Rút gọn biểu thức: $A = \left(\frac{2x^3+x^2-x}{x^3-1} - \frac{x^2+x}{x^2-1}\right) : \frac{2x^2+x-1}{x^2-1} + \frac{x}{2x-1}$ với $x \neq \pm 1, x \neq \frac{1}{2}$
2)
Cho ba số $x, y, z$ khác 0 và thỏa mãn: $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{x+y+z}$

Tính giá trị biểu thức $P = \left(x^{2023} + y^{2023}\right)\left(y^{2023} + z^{2023}\right)\left(z^{2023} + x^{2023}\right)$

Câu 2

2,0 điểm

Giải phương trình $2(6x+7)^2(3x+4)(x+1) - 12 = 0$

Câu 3

2,0 điểm

Để lập đội tuyển năng khiếu bóng rổ của trường, thầy giáo thể dục đưa ra quy định tuyển chọn như sau: Mỗi bạn dự tuyển được sẽ được ném 10 quả bóng vào rổ, quả bóng nào vào rổ được cộng 4 điểm; quả bóng nào ném ra ngoài bị trừ 2 điểm. Nếu bạn nào có số điểm từ 22 điểm trở lên thì sẽ được vào đội tuyển. Hỏi mỗi học sinh muốn được chọn vào đội tuyển thì phải ném ít nhất bao nhiêu quả vào rổ?

Câu 4

2,0 điểm

Cho hai số tự nhiên $a, b$ thỏa mãn: $2a^2 + a = 3b^2 + b$ . Chứng minh rằng $2a + 2b + 1$ là số chính phương.

Câu 5

1,5 điểm

Bác An trồng cây ăn quả được mùa nên cuối vụ bác An tiết kiệm được 30 triệu đồng. Bác An gửi số tiền trên vào ngân hàng X theo hình thức lãi kép. Sau 2 năm, bác rút cả vốn lẫn lãi được 33,075 triệu đồng. Nếu bác An gửi số tiền 400 triệu đồng vào ngân hàng X theo lãi suất đó thì sau bao nhiêu năm bác An nhận được số tiền cả gốc và lãi là 463,05 triệu đồng?

Câu 6

1,5 điểm

Một người đo chiều cao của một cây nhờ một cọc chôn xuống đất, cọc cao 2m và đặt xa cây 15m. Sau khi người ấy lùi ra xa cách cọc 0,8m thì nhìn thấy đầu cọc và đỉnh cây cùng nằm trên một đường thẳng. Hỏi cây cao bao nhiêu, biết rằng khoảng cách từ chân đến mắt người ấy là 1,6m?

Câu 7

5,5 điểm

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ $(AB < AC)$ gọi $AD$ là tia phân giác của góc $BAC$ . Gọi $M$ và $N$ lần lượt là hình chiếu của $D$ trên $AB$ và $AC$ ; $E$ là giao điểm của $BN$ và $DM$ , $F$ là giao điểm của $CM$ và $DN$ .

a)
Chứng minh tứ giác $AMDN$ là hình vuông và $EF // BC$ .
b)
Gọi $H$ là giao điểm của $BN$ và $CM$ . Chứng minh $\Delta ANB$ đồng dạng với $\Delta NFA$ và $H$ là trực tâm $\Delta AEF$ .
c)
Gọi $P$ là điểm trên $AN$ , $Q$ là điểm trên $AM$ sao cho $AP = MQ$ . Tìm vị trí của $P$ và $Q$ để diện tích tứ giác $MQPN$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 8

1,5 điểm

Cho $a, b, c$ là ba số thực dương thỏa mãn: $a + b + c = 1$ .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $S = \frac{ab}{a^2+b^2} + \frac{bc}{b^2+c^2} + \frac{ca}{c^2+a^2} + \frac{1}{4}\left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right)$