Đề giao lưu học sinh giỏi Toán 8 năm 2024–2025 — Phòng GD&ĐT Chí Linh, Hải Dương

Câu 1

2,0 điểm

1)
Rút gọn biểu thức: $A=\left(\dfrac{x^{2}}{x^{2}-y^{2}}+\dfrac{y}{x-y}\right):\dfrac{x^{3}-y^{3}}{x^{5}-x^{4}y-xy^{4}+y^{5}}$ với $x \neq y; x \neq -y$
2)
Cho $a^{2}(b+c)=b^{2}(c+a)=2025$ với $a,b,c$ đôi một khác nhau và khác 0. Tính giá trị của biểu thức $c^{2}(a+b)$ .

Câu 2

2,0 điểm

1)
Giải phương trình: $(3x+1)(x-1)^{2}(3x-7)+7=0$
2)
Biết rằng đa thức $f(x)$ chia cho $x-2$ dư $11$ , chia cho $x+2$ dư $(-1)$ , chia cho $x^{2}-4$ được thương là $3x$ và còn dư. Tính $f(2025)+f(-2025)$ .

Câu 3

2,0 điểm

1)
Tìm tất cả các cặp số nguyên $(x;y)$ thỏa mãn $y^{2}+2(x^{2}+1)=2y(x+1)$
2)
Tìm các số tự nhiên $n$ để $(n^{2}-8)^{2}+36$ là số nguyên tố.

Câu 4

2,5 điểm

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ $(AB < AC)$ . Gọi $AD$ là tia phân giác của góc $BAC$ . Từ $D$ kẻ $DM \perp AB$ , $DN \perp AC$ $(M \in AB, N \in AC)$ . Gọi $E$ là giao điểm của $BN$ và $DM$ , $F$ là giao điểm của $CM$ và $DN$ .

1)
Chứng minh tứ giác $AMDN$ là hình vuông và $EF // BC$
2)
Chứng minh $\Delta ANB$ đồng dạng với $\Delta NFA$ .
3)
Gọi $P$ là điểm trên đoạn thẳng $AN$ , $Q$ là điểm trên đoạn thẳng $AM$ sao cho $AP = MQ$ . Tìm vị trí của $P$ và $Q$ để diện tích tứ giác $MQPN$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 5

0,5 điểm

Cho 33 điểm trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng và nằm trong tam giác đều có diện tích bằng 1. Chứng minh rằng tồn tại ít nhất một tam giác có ba đỉnh là ba điểm trong 33 điểm đã cho có diện tích nhỏ hơn $\dfrac{1}{16}$ .

Câu 6

1,0 điểm

Cho hai số a, b $\neq 0$ thỏa mãn $2a^{2}+\dfrac{b^{2}}{4}+\dfrac{1}{a^{2}}=4$ . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $Q = ab + 2024$ .