Đề thi học sinh giỏi Toán 8 năm 2024 — Phòng GD&ĐT Thị xã Hoài Nhơn, Bình Định

Câu 1

4,0 điểm

Cho biểu thức: $A = \dfrac{x^{4}+2}{x^{6}+1} + \dfrac{x^{2}-1}{x^{4}-x^{2}+1} - \dfrac{x^{2}+3}{x^{4}+4x^{2}+3}$ .

a)
Tìm điều kiện xác định của $A$ .
b)
Rút gọn $A$ .
c)
Tính giá trị lớn nhất của $A$ .

Câu 2

4,0 điểm

a)
Cho ba số $a, b, c$ thỏa mãn điều kiện: $4a^{2}+2b^{2}+2c^{2}-4ab-4ac+2bc-6b-10c+34=0.$

Tính giá trị của biểu thức: $B=(a-4)^{2024}+(b-4)^{2024}+(c-4)^{2024}$ .
b)
Biết $m, n, p$ là độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: $\left(m^{2}+n^{2}-p^{2}\right)^{2}-4m^{2}n^{2}<0$ .

Câu 3

4,0 điểm

a)
Cho $a, b$ là bình phương của hai số nguyên lẻ liên tiếp. Chứng minh rằng $ab-a-b+1$ chia hết cho $48$ .
b)
Cho $a$ và $b$ là các số tự nhiên thỏa mãn $2a^{2}+a=3b^{2}+b$ . Chứng minh rằng: $a-b$ và $3a+3b+1$ là các số chính phương.

Câu 4

4,0 điểm

Cho hình chữ nhật $ABCD$ . Trên đường chéo $BD$ lấy điểm $P$ , gọi $M$ là điểm đối xứng của điểm $C$ qua $P$ .

a)
Tứ giác $AMDB$ là hình gì?
b)
Gọi $E$ và $F$ lần lượt là hình chiếu của điểm $M$ lên đường thẳng $AB$ , $AD$ . Chứng minh $EF \parallel AC$ và ba điểm $E, F, P$ thẳng hàng.
c)
Chứng minh rằng tỷ số hai cạnh liên tiếp của hình chữ nhật $MEAF$ không phụ thuộc vào vị trí của điểm $P$ .
d)
Giả sử $CP \perp BD$ và $CP=2,4$ cm; $\dfrac{PD}{PB}=\dfrac{9}{16}$ . Tính chu vi và diện tích hình chữ nhật $ABCD$ .

Câu 5

3,0 điểm

Gọi $O$ là giao điểm ba đường trung trực của ba cạnh tam giác $ABC$ . Tia $AO$ cắt $BC$ tại $D$ . Trên cạnh $AB$ lấy điểm $E$ sao cho $DE=DB$ ; trên cạnh $AC$ lấy điểm $F$ sao cho $DF=DC$ .

a)
Chứng minh: $DA$ là tia phân giác của $\widehat{EDF}$ .
b)
$DE$ cắt $OB$ tại $I$ ; $DF$ cắt $OC$ tại $K$ . Tam giác $IOK$ là tam giác gì? Vì sao?

Câu 6

1,0 điểm

Cho tam giác $OAB$ có $\widehat{O}=120^{\circ}$ , $OA=a$ , $OB=b$ và đường phân giác của góc $O$ là $OC=c$ . Chứng minh: $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{c}$ .