Đề thi học sinh giỏi Toán 8 năm 2024 — Phòng GD&ĐT huyện Văn Lâm, Hưng Yên

Câu 1

4,0 điểm

Cho biểu thức:

A = \left[ \frac{x^{2} - y^{2}}{x^{2} + 2xy + y^{2}} + \frac{2}{xy} : \left(\frac{1}{x} + \frac{1}{y}\right)^{2} \right] \cdot \frac{1}{x - y} - \left[ \frac{x^{2} - y^{2} + 2xy}{(x - y)(x + y)^{2}} + \frac{3}{x^{2} - 2x + 2} \right] \quad (x \neq \pm y; x, y \neq 0)

1)
Rút gọn biểu thức $A$ .
2)
Với giá trị nào của $x, y$ thì biểu thức $A$ đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.

4,0 điểm

1)
Phân tích đa thức $P = bc(a + d)(b - c) - ac(b + d)(a - c) + ab(c + d)(a - b)$ thành nhân tử.
2)
Cho các số nguyên $a, b, c$ thoả mãn $(a - b)^{3} + (b - c)^{3} + (c - a)^{3} = 210$ . Tính giá trị của biểu thức $A = |a - b| + |b - c| + |c - a|$ .

3,0 điểm

7,0 điểm

1)
Cho hình vuông $ABCD$ . Gọi $E$ là một điểm trên cạnh $BC$ . Qua $A$ kẻ tia $Ax$ vuông góc với $AE$ và cắt $CD$ tại $F$ . Trung tuyến $AI$ của tam giác $AEF$ cắt $CD$ ở $K$ . Đường thẳng qua $E$ song song với $AB$ cắt $AI$ ở $G$ . Chứng minh rằng:
1. a)
  $AE = AF$ và tứ giác $EGFK$ là hình thoi.
2. b)
  $AF^{2} = FK \cdot FC$
3. c)
  Cho hình vuông $ABCD$ cố định có độ dài cạnh bằng $a$ , chứng minh rằng khi $E$ di động trên cạnh $BC$ thì chu vi $\Delta EKC$ không đổi.
2)
Cho tam giác $MNP$ có $MN = 5\text{cm}$ , $MP = 6\text{cm}$ , $NP = 7\text{cm}$ . Gọi $I$ là giao điểm của ba đường phân giác, $G$ là trọng tâm của tam giác $MNP$ . Chứng minh rằng: $IG // MP$

2,0 điểm

1)
Tìm hàm số có đồ thị là đường thẳng $(d)$ thỏa mãn: $(d)$ đường trung trực của $AB$ và $A(0; -1)$ ; $B(-4; 3)$
2)
Chứng minh rằng: Nếu $xyz = 1$ thì $\dfrac{1}{1 + x + xy} + \dfrac{1}{1 + y + yz} + \dfrac{1}{1 + z + zx} = 1$