Đề thi học sinh giỏi Toán 8 năm 2023–2024 — Phòng GD&ĐT Ninh Giang, Hải Dương

Câu 1

2,0 điểm

1)
Rút gọn biểu thức $P = \dfrac{x^2 + x}{x^2 - 2x + 1} : \left( \dfrac{x + 1}{x} + \dfrac{1}{x - 1} + \dfrac{2 - x^2}{x^2 - x} \right)$ $(x \neq 0; x \neq \pm 1)$
2)
Cho $9x^2 + 4y^2 = 20xy$ ; $(3x > 2y > 0)$ . Chứng minh $\dfrac{6x - 4y}{3x + 2y} = 1$

Câu 2

2,0 điểm

1)
Giải phương trình: $(x - 7)(x - 5)(x - 4)(x - 2) = 72$
2)
Cho đa thức $f(x) = (x - 2)(x^2 - x + 1) + ax^2 + bx + c$ . Biết $f(x)$ chia $x - 2$ dư $11$ , chia $x^2 - x + 1$ dư $3x + 2$ . Tìm $a, b, c$ .

Câu 3

2,0 điểm

1)
Tìm cặp số nguyên $(x; y)$ thỏa mãn điều kiện: $x^2 + 2y^2 + 2xy + y = 2$ .
2)
Tìm số nguyên dương $n$ sao cho $A = (n + 3)(4n^2 + 14n + 7)$ là số chính phương.

Câu 4

3,0 điểm

1)
Cho tam giác $ABC$ nhọn, $AB < AC$ . Các đường cao $AD, BE, CF$ cắt nhau tại $H$ $(D \in BC, E \in AC; F \in AB)$ .
1. a)
  Chứng minh $AF.AB = AE.AC$ .
2. b)
  Qua $D$ kẻ đường thẳng song song với $EF$ cắt $AB$ tại $M$ , cắt $CF$ tại $N$ . Chứng minh $\widehat{FEH} = \widehat{DEH}$ và $DM = DN$ .
2)
Cho tam giác $ABC$ nhọn $(AB < AC)$ . Các đường cao $BM, CN$ cắt nhau tại $I$ $(M \in AC; N \in AB)$ . Gọi $E$ là trung điểm $BC$ , $IE$ cắt $MN$ tại $F$ . Chứng minh $\dfrac{FM}{FN} = \dfrac{IM^2}{IN^2}$

Câu 5

1,0 điểm

Cho hai số $a, b \neq 0$ thỏa mãn $2a^2 + \dfrac{b^2}{4} + \dfrac{1}{a^2} = 4$ . Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $Q = ab + 2024$ .