Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 8 năm 2024 — Phòng GD&ĐT thành phố Bắc Ninh

Câu 1

4,0 điểm

1)
Cho biểu thức $H = \left(\dfrac{2x-8}{x^2-3x+2} + \dfrac{x^2-2x-3}{x^2-5x+6} - \dfrac{x^2-x-6}{x^2-4x+3}\right) : \dfrac{1}{x-1}$ với $x \neq 1; x \neq 2; x \neq 3$ .
1. a)
  Rút gọn $H$ .
2. b)
  Tìm tất cả các giá trị của $x$ để biểu thức $\dfrac{H}{x-2}$ nhận giá trị là số tự nhiên.
2)
Cho $a, b, c$ là các số thực khác $0$ thỏa mãn: $a^2 - c^2 = c; c^2 - b^2 = b; b^2 - a^2 = a$ . Tính giá trị biểu thức $T = (a-b)(b-c)(c-a)$ .

4,0 điểm

1)
Cho hai đa thức $P(x), Q(x)$ có bậc khác $0$ và có hệ số cao nhất đều bằng $1$ , thỏa mãn $P(Q(x)) = P(x).Q(x) \ \forall x$ . Tính $Q(2024) - P(2023)$ .
2)
Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên có $4$ chữ số. Tính xác suất để số được chọn là số có $4$ chữ số thỏa mãn chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng trước.

4,0 điểm

1)
Tìm tất cả các số nguyên tố $m, n, p$ thỏa mãn $m^2 + 3n^2 + 5p^2 = 8mnp$ .
2)
Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$ , cho $3$ đường thẳng $(d_1): y = 2x - m^2 + 1, (d_2): y = x - m^2 - m$ và $(d_3): y = 3x - m^2 - m + 2$ . Biết $(d_1)$ cắt $(d_2)$ và $(d_3)$ lần lượt tại $A(x_1; y_1)$ và $B(x_2; y_2)$ . Tìm $m$ để $(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2 = 320$ .

6,0 điểm

1)
Cho tam giác $ABC$ nhọn $(AB < AC)$ , đường cao $AD, CF$ cắt nhau tại $H$ . Gọi $M$ là điểm thuộc đoạn thẳng $DC$ sao cho $BM < 2BD$ . Qua $A$ vẽ đường thẳng vuông góc với $AM$ cắt $CH$ tại $K$ .
1. a)
  Chứng minh rằng: $\Delta KAH \sim \Delta AMB$ .
2. b)
  Lấy $G$ đối xứng với $H$ qua $K$ . Gọi $P$ là trung điểm của $BM$ . Chứng minh: $AG \perp AP$ .
3. c)
  Khi $BM = 2MC$ , gọi $N$ là giao điểm của $AG$ và $BH$ . Chứng minh: $AG = 2AN$ .
2)
Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $8$ . Trên cạnh $BC$ , lấy điểm $M$ sao cho $BM = 5$ . Gọi $N$ là giao điểm của đường thẳng $CD$ và đường thẳng vuông góc với $AM$ tại $A$ . Gọi $I$ là trung điểm của $MN$ . Hãy tính độ dài đoạn thẳng $DI$ .

2,0 điểm

1)
Cho ba số nguyên dương $a, b, c$ thỏa mãn $a + b + c = 10$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$K = \frac{a+b}{c} + \frac{b+c}{a} + \frac{c+a}{b}.$
2)
Cho $884$ số nguyên tố phân biệt. Chứng minh rằng tồn tại hai số nguyên tố $p, q$ trong các số đã cho thỏa mãn $p - q \vdots 2024$ .