Đề thi học sinh giỏi Toán 8 năm 2024 — Phòng GD&ĐT Sơn Động, Bắc Giang

Thời gian: 120 phút
Số câu: 24 câu
Đáp án: Có đáp án

Phần I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn6,0 điểm

Câu 1

Điều kiện xác định của biểu thức $A = \dfrac{-5}{x} + \dfrac{y}{x^{2} - 4}$ là

A
$\displaystyle x \neq 0$
B
$\displaystyle x \neq \pm 2$
C
$\displaystyle x \neq 0; x \neq \pm 2$
D
$\displaystyle x \neq 0; x \neq 1$

Câu 2

Cho $a, b$ là các số thực sao cho $\dfrac{3x + 1}{(x + 1)(x - 2)} = \dfrac{a}{x + 1} + \dfrac{b}{x - 2}$ . Giá trị biểu thức $\dfrac{-a}{b}$ là

A
$\displaystyle \dfrac{-2}{7}$
B
$\displaystyle \dfrac{-7}{2}$
C
$\displaystyle \dfrac{14}{9}$
D
$\displaystyle \dfrac{-14}{9}$

Câu 3

Gọi $S$ là tổng các giá trị $x$ thoả mãn $2x^{3} - 8x = 0$ . Giá trị của $S$ là

A
$\displaystyle S = 4$
B
$\displaystyle S = 2$
C
$\displaystyle 0$
D
$\displaystyle -2$

Câu 4

Cho $x + y = 1$ . Giá trị biểu thức $P = 2(x^{3} + y^{3}) - 3(x^{2} + y^{2})$ là

A
$\displaystyle 1$
B
$\displaystyle -1$
C
$\displaystyle 2$
D
$\displaystyle -2$

Câu 5

Đa thức $A = x^{5}y^{4} + 2x^{3}y^{2} - x^{5}y^{4} - 2x^{2}y^{3} + 3xy - 1$ có bậc là

A
$\displaystyle 9$
B
$\displaystyle 6$
C
$\displaystyle 5$
D
$\displaystyle 2$

Câu 6

Thống kê điểm kiểm tra cuối năm môn Toán của một nhóm 100 học sinh lớp 8 được chọn ngẫu nhiên tại ba lớp 8 của trường THCS X, thu được kết quả như bảng sau:

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Điểm} & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ \hline \text{Số học sinh} & 7 & 9 & 11 & 11 & 12 & 12 & 13 & 9 & 8 & 8 \\ \hline \end{array}

Chọn ngẫu nhiên một học sinh lớp 8 của trường X. Kết quả ước lượng của biến cố “học sinh có điểm là một số nguyên tố” là

A
$\displaystyle \dfrac{20}{9}$
B
$\displaystyle \dfrac{9}{20}$
C
$\displaystyle \dfrac{11}{20}$
D
$\displaystyle \dfrac{10}{11}$

Câu 7

Gọi $a$ là số dư của phép chia đa thức $2023x^{2024} + 2x - 1$ cho $x + 1$ . Giá trị biểu thức $2a - 1$ là

A
$\displaystyle 4.039$
B
$\displaystyle 4.040$
C
$\displaystyle 4.055$
D
$\displaystyle 4.055$

Câu 8

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $Q = (x + 3)^{2} + (x + 2)^{2}$ là

A
$\displaystyle 0$
B
$\displaystyle \dfrac{-3}{2}$
C
$\displaystyle \dfrac{-5}{2}$
D
$\displaystyle \dfrac{1}{2}$

Câu 9

Cho $\Delta ABC$ có $BC = 10cm$ . Gọi $E, F, M, N$ lần lượt là trung điểm $AB, AC, AE, AF$ . Độ dài đoạn thẳng $MN$ là

A
$\displaystyle 5cm$
B
$\displaystyle 10cm$
C
$\displaystyle 7,5cm$
D
$\displaystyle 2,5cm$

Câu 10

Cho $\Delta ABC$ vuông tại $A$ có $AB = 6cm; AC = 8cm$ . Đường phân giác $AD$ cắt $BC$ tại $D$ . Độ dài cạnh $BD$ là

A
$\displaystyle \dfrac{30}{7}cm$
B
$\displaystyle \dfrac{40}{7}cm$
C
$\displaystyle \dfrac{5}{7}cm$
D
$\displaystyle \dfrac{4}{7}cm$

Câu 11

Chóp inox đặt trên đỉnh núi Fansipan (Việt Nam) có dạng hình chóp tam đều với diện tích đáy khoảng $1560cm^2$ và chiều cao khoảng $90cm$ . Tính thể tích của chóp inox trên đỉnh núi Fansipan (Việt Nam).

Hình chóp tam đều S.ABC với diện tích đáy 1560cm² và chiều cao SO = 90cm

A
$\displaystyle 4.680cm^3$
B
$\displaystyle 140.400cm^3$
C
$\displaystyle 46.800cm^3$
D
$\displaystyle 48.600cm^3$

Câu 12

Kết quả phân tích đa thức $(x - y)^2 - x + y$ thành nhân tử là

A
$\displaystyle (x - y)(x - y + 1)$
B
$\displaystyle (x - y)(x + y + 1)$
C
$\displaystyle (x - y)(x + y - 1)$
D
$\displaystyle (x - y)(x - y - 1)$

Câu 13

Giá trị của $m$ để $(x - 1)(x^2 + mx + 2) = x^3 + 4x^2 - 3x - 2$ là

A
$\displaystyle 5$
B
$\displaystyle 1$
C
$\displaystyle -5$
D
$\displaystyle -1$

Câu 14

Gọi $(x_0; y_0)$ là nghiệm của phương trình $2x^2 + y^2 + 2xy + 4x + 4 = 0$ . Biểu thức $A = \dfrac{1}{2}x_0^2 - 5y_0$ có giá trị bằng

A
$\displaystyle -12$
B
$\displaystyle -8$
C
$\displaystyle 8$
D
$\displaystyle 12$

Câu 15

Trong các dữ liệu sau dữ liệu là dữ liệu liên tục?

A
Dữ liệu số bàn thắng ghi được của đội tuyển Việt Nam trong các trận đấu tại Seagame 31
B
Dữ liệu về tên các bạn học sinh lớp $8A$
C
Dữ liệu về số thành viên trong mỗi gia đình của các bạn học sinh lớp $8A$
D
Dữ liệu chiều cao của các bạn học sinh lớp $8A$

Câu 16

Cho $\Delta ABC$ có trọng tâm $G$ . Vẽ đường thẳng $d$ qua $G$ và song song với $AB$ , $d$ cắt $BC$ tại điểm $M$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A
$\displaystyle BM = \dfrac{1}{2}BC$
B
$\displaystyle BM = \dfrac{1}{3}BC$
C
$\displaystyle BM = \dfrac{2}{3}BC$
D
$\displaystyle BM = \dfrac{3}{2}BC$

Câu 17

Cho $\Delta ABC$ vuông tại $A$ , đường cao $AH$ . Biết $AB = 12cm, BC = 15cm$ . Độ dài đường cao $AH$ là

A
$\displaystyle 9cm$
B
$\displaystyle 4,8cm$
C
$\displaystyle 7,2cm$
D
$\displaystyle 9,6cm$

Câu 18

Cho hình thang $ABCD$ ( $AB // CD$ ) có $\widehat{A} - \widehat{D} = 70^\circ$ . Số đo $\widehat{A}$ và $\widehat{D}$ lần lượt bằng

A
$\displaystyle 125^\circ;55^\circ$
B
$\displaystyle 55^\circ;125^\circ$
C
$\displaystyle 115^\circ;65^\circ$
D
$\displaystyle 65^\circ;115^\circ$

Câu 19

Số giá trị nguyên của $x$ để biểu thức $A = \dfrac{x + 3}{x^2 + 2}$ có giá trị là một số nguyên.

A
$\displaystyle 2$
B
$\displaystyle 1$
C
$\displaystyle 3$
D
$\displaystyle 4$

Câu 20

Cho đa thức $f(x)$ thỏa mãn $f(x) + 3f\left(\dfrac{1}{x}\right) = 2x^2 + x - 1$ . Khi đó giá trị $f(2)$ bằng

A
$\displaystyle \dfrac{-8}{9}$
B
$\displaystyle \dfrac{8}{9}$
C
$\displaystyle \dfrac{9}{8}$
D
$\displaystyle \dfrac{-9}{8}$

Phần II. Tự luận14,0 điểm

Câu 1

5,0 điểm

1)
Phân tích các đa thức thành nhân tử:
1. a)
  $x^2 - y^2 - 6x + 9$ .
2. b)
  $x^3 + 6x^2 + 11x + 6$ .
2)
Tìm $a, b$ sao $f(x) = ax^3 + bx^2 - 6x + 8$ chia hết cho đa thức $g(x) = 2x^2 + x - 3$ .
3)
Cho $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$ . Tính giá trị biểu thức: $P = \left(1 + \dfrac{a}{b}\right)\left(1 + \dfrac{b}{c}\right)\left(1 + \dfrac{c}{a}\right)$ .

Câu 2

4,0 điểm

1)
Rút gọn biểu thức: $A = \left(1 + \dfrac{x}{x^2 + 1}\right) : \left(\dfrac{1}{x - 1} - \dfrac{2x}{x^3 - x^2 + x - 1}\right)$ với $x \neq 1$ .
2)
Cho $A = n^4 + 4$ . Tìm $n$ để $A$ có giá trị là một số nguyên tố.
3)
Tìm cặp số $(x; y)$ nguyên dương thỏa mãn $y^2 = x(x + 1)(x + 7)(x + 8)$ .

Câu 3

4,0 điểm

Cho $\Delta ABC$ vuông tại $A$ $(AB > AC)$ . Đường trung tuyến $AO$ , trên tia đối của tia $OA$ lấy điểm $D$ sao cho $OD = OA$ . Từ $B$ kẻ $BH$ vuông góc với $AD$ tại $H$ . Từ $C$ kẻ $CK$ vuông góc với $AD$ tại $K$ . Tia $BH$ cắt $CD$ tại $M$ , tia $CK$ cắt $AB$ tại $N$ .

a)
Chứng minh tứ giác $ABDC$ là hình chữ nhật.
b)
Chứng minh ba điểm $M, O, N$ thẳng hàng.
c)
Trên tia đối của tia $BH$ lấy điểm $E$ sao cho $BE = AD$ . Chứng minh $\widehat{DCE} = 45^\circ$ .

Câu 4

1,0 điểm

Cho $a, b, c$ là các số dương. Tìm giá trị nhỏ nhất của: $P = (a + b + c)\left(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}\right)$ .

HẾT