Đề giao lưu học sinh giỏi Toán 8 năm 2023–2024 — Phòng GD&ĐT thành phố Thanh Hóa

Câu I

4,0 điểm

1)
Rút gọn biểu thức: $Q=1+\left(\dfrac{x+1}{x^{3}+1}-\dfrac{1}{x-x^{2}-1}-\dfrac{2}{x+1}\right):\dfrac{x^{3}-2x^{2}}{x^{3}-x^{2}+x}$
2)
Cho 3 số $x, y, z \neq 0$ thỏa mãn điều kiện $(x+y+z)^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ . Tính giá trị biểu thức

$M=\dfrac{x^{2}}{x^{2}+2yz}+\dfrac{y^{2}}{y^{2}+2zx}+\dfrac{z^{2}}{z^{2}+2xy}$

4,0 điểm

1)
Giải phương trình: $\dfrac{x^{2}+4x+6}{x+2}+\dfrac{x^{2}+16x+72}{x+8}=\dfrac{x^{2}+8x+20}{x+4}+\dfrac{x^{2}+12x+42}{x+6}$
2)
Giả sử đa thức $f(x)$ chia cho $x+1$ dư $4$ ; chia cho $x^{2}+1$ dư $2x+3$ . Hãy tìm dư trong phép chia $f(x)$ cho $(x+1)(x^{2}+1)$

4,0 điểm

1)
Tìm tất cả các cặp số tự nhiên $(x; y)$ thỏa mãn phương trình: $x^{3}+y^{3}=3xy+1$
2)
Cho $a, b, c$ là các số nguyên khác $0$ , $a \neq c$ sao cho $\dfrac{a^{2}+b^{2}}{b^{2}+c^{2}}=\dfrac{a}{c}$ . Chứng minh rằng $a^{2}+b^{2}+c^{2}$ không phải là số nguyên tố.

6,0 điểm

1)
Cho $O$ là trung điểm của đoạn thẳng $AB$ . Vẽ tia $Ax, By$ cùng phía đối với $AB$ và vuông góc $AB$ . Trên tia $Ax$ lấy điểm $C$ (khác $A$ ), qua $O$ kẻ đường thẳng vuông góc với $OC$ cắt tia $By$ tại $D$ .
1. a)
  Chứng minh $\Delta OAC$ đồng dạng với $\Delta DBO$ và $AB^{2}=4AC.BD$
2. b)
  Kẻ $OM$ vuông góc $CD$ tại $M$ . Tia $BM$ cắt tia $Ax$ tại $I$ . Chứng minh $AC=CM=CI$
2)
Cho $\Delta ABC$ $(AB<AC)$ trọng tâm $G$ . Qua $G$ vẽ đường thẳng $d$ cắt các cạnh $AB, AC$ lần lượt ở $D$ và $E$ . Chứng minh rằng $\dfrac{AB}{AD}+\dfrac{AC}{AE}=3$

2,0 điểm

1)
Một hộp đựng $20$ quả bóng trong đó có $4$ quả màu xanh, $5$ quả màu trắng và $6$ quả màu vàng (các quả còn lại khác màu nhau). Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra $2$ quả, tính xác suất để lấy được $2$ quả cùng màu?
2)
Cho ba số thực dương $x, y, z$ thỏa mãn $\dfrac{1}{x^{2}}+\dfrac{1}{y^{2}}+\dfrac{1}{z^{2}}=1$

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=\dfrac{y^{2}z^{2}}{x(y^{2}+z^{2})}+\dfrac{z^{2}x^{2}}{y(z^{2}+x^{2})}+\dfrac{x^{2}y^{2}}{z(x^{2}+y^{2})}$