Đề thi học sinh giỏi Toán 8 năm 2023–2024 — Phòng GD&ĐT huyện Hoằng Hóa, Thanh Hóa

Câu 1

4,0 điểm

Cho biểu thức: $P = \left[\dfrac{(x-1)^2}{x^2 + x + 1} - \dfrac{1 - 2x^2 + 4x}{x^3 - 1} + \dfrac{1}{x - 1}\right] : \dfrac{x^2 + x}{x^3 + x}$ , với $x \neq 0, \pm 1$ .

1)
Rút gọn biểu thức P.
2)
Tìm giá trị của x để $P = 1$ .

Câu 2

4,0 điểm

1)
Cho $a + b + c = 0$ và $abc \neq 0$ . Chứng minh: $\dfrac{1}{b^2 + c^2 - a^2} + \dfrac{1}{a^2 + c^2 - b^2} + \dfrac{1}{a^2 + b^2 - c^2} = 0$ .
2)
Cho đa thức: $f(x) = 2x^4 + ax^2 + bx + c$ . Xác định hệ số a; b; c biết $f(x)$ chia hết cho $x - 2$ và $f(x)$ chia cho $x^2 - 1$ dư $2x$ .
3)
Bác Hoàng gửi vào ngân hàng 500 triệu đồng theo thể thức lãi kép theo định kì với lãi suất 5,5% mỗi năm (tức là nếu đến hạn người gửi không rút lãi ra thì tiền lãi được tính vào vốn kì kế tiếp). Tính số tiền bác Hoàng nhận được sau 3 năm là (cả gốc và lãi).

Câu 3

4,0 điểm

1)
Tìm các số nguyên x; y thỏa mãn: $2x^2 + 4x + 2 = 3(7 - y^2)$ .
2)
Tìm tất cả số nguyên tố p; q; r thỏa mãn: $(p^2 + 1)(q^2 + 1) = r^2 + 1$ .

Câu 4

6,0 điểm

Cho hình vuông ABCD, trên cạnh AB lấy điểm M bất kỳ (không trùng với A, B). Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ B xuống MC.

1)
Chứng minh: $BH^2 = HM.HC$ .
2)
Đường thẳng qua D vuông góc với DM cắt đường thẳng BC tại K; đường thẳng qua D vuông góc với MK cắt BC tại E. Chứng minh: $\Delta KDM$ vuông cân và $\Delta DKE$ đồng dạng với $\Delta BKD$ .
3)
Trên cạnh BC lấy điểm N sao cho $BN = BM$ . Chứng minh rằng: khi điểm M di chuyển trên cạnh AB thì góc DHN luôn có số đo không đổi.

Câu 5

2,0 điểm

1)
Đường quốc lộ và đường ống dẫn dầu cắt nhau tạo thành một góc nhỏ hơn $45^o$ , trong góc này có bãi đỗ xe ô tô ở vị trí A (hình vẽ). Cần phải xây trạm cung cấp xăng ở vị trí nào trên đường ống để các loại xe xuất phát từ bãi đỗ xe A đến cây xăng rồi ra đường quốc lộ với đường đi ngắn nhất.
2)
Cho x, y, z là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: $\dfrac{x}{3(y + z - x)} + \dfrac{y}{3(x + z - y)} + \dfrac{z}{3(x + y - z)} \geq 1$