Đề thi học sinh giỏi Toán 8 năm 2024–2025 — Phòng GD&ĐT Vĩnh Châu, Sóc Trăng

Câu 1

4,0 điểm

a)
Phân tích đa thức sau thành nhân tử: $x^4 - 7x^2 + 1$ .
b)
Cho biểu thức $A=\left(\frac{2-x}{x+3}-\frac{3-x}{x+2}+\frac{2-x}{x^2+5x+6}\right):\left(1-\frac{x}{x-1}\right)$ .
1. b1)
  Tìm điều kiện xác định của biểu thức A.
2. b2)
  Rút gọn biểu thức A.
3. b3)
  Tính giá trị của biểu thức A khi $x=\left(1-\frac{1}{2^2}\right)\left(1-\frac{1}{3^2}\right)\left(1-\frac{1}{4^2}\right)...\left(1-\frac{1}{2024^2}\right)$ .

Câu 2

6,0 điểm

a)
Tìm x để B có giá trị nhỏ nhất: $B=\frac{x^2-2x+2025}{x^2}$ với $x>0$ .
b)
Cho $x^2+y^2=-2(x-y+1)$ . Tính $C=22x^{2024}-12y^{2025}+2024xy$ .
c)
Chứng minh rằng nếu $abc=1$ thì $\frac{a}{ab+a+1}+\frac{b}{bc+b+1}+\frac{c}{ac+c+1}=1$ .

Câu 3

4,0 điểm

a)
Chứng minh rằng với mọi số nguyên a ta có: $a(a+1)(2a+1) \vdots 6$ .
b)
Vào ngày 7 tháng 9 năm 2024, Siêu bão Yagi - cơn bão mạnh nhất tấn công Việt Nam trong 70 năm qua - đã đổ bộ vào các tỉnh phía Bắc, ảnh hưởng đến hàng triệu trẻ em và gia đình. Hưởng ứng lễ phát động quyên góp ủng hộ nhân dân bị thiệt hại bởi cơn bão Yagi, khối 8 của một Trường THCS A trên địa bàn thị xã Vĩnh Châu đã quyên góp được một số tiền, trong đó có 80 tờ giấy bạc gồm ba loại 10.000 đồng, 20.000 đồng và 100.000 đồng. Biết rằng tổng giá trị của mỗi loại giấy bạc trên đều bằng nhau. Hỏi mỗi loại giấy bạc có bao nhiêu tờ?

Câu 4

4,0 điểm

Cho tam giác $ABC$ cân ở $A$ . Trên cạnh $AB$ lấy điểm $D$ , trên tia đối của tia $CA$ lấy điểm $E$ sao cho $AD+AE=2AB$ .

a)
Chứng minh rằng: $BD=CE$ .
b)
Gọi $F$ là giao điểm của $BC$ và $DE$ . Chứng minh rằng: $F$ là trung điểm của $DE$ .
c)
Đường trung trực của $DE$ và tia phân giác của $\widehat{BAC}$ cắt nhau tại $G$ . Chứng minh rằng: $GC \perp AC$ .

Câu 5

2,0 điểm

Một bể cá hình hộp chữ nhật được làm bằng kính chứa nước có hai cạnh đáy là $80\text{cm}$ và $50\text{cm}$ , chiều cao mực nước $30\text{cm}$ . Người ta muốn trang trí bể cá nên đã đặt vào bể 5 khối đá hình chóp tứ giác đều như nhau với cạnh $10\text{cm}$ và chiều cao $12\text{cm}$ . Khi đặt 5 khối đá hình chóp tứ giác đều như trên vào bể thì chiều cao mực nước của bể là bao nhiêu? (Biết rằng bề dày của đáy bể và thành bể không đáng kể).

Bể cá hình hộp chữ nhật có đáy 80cm x 50cm và chiều cao mực nước ban đầu 30cm

Bể cá sau khi đặt 5 khối đá hình chóp tứ giác đều, chiều cao mực nước cần tính