Đề chọn đội tuyển học sinh giỏi Toán 8 vòng 2 năm 2024 — Trường THCS Trần Mai Ninh, Thanh Hóa

Câu 1

4,0 điểm

1)
Rút gọn biểu thức $A=\dfrac{x^{4}-(x-1)^{2}}{(x^{2}+1)^{2}-x^{2}}+\dfrac{x^{2}-(x^{2}-1)^{2}}{x^{2}(x+1)^{2}-1}+\dfrac{x^{2}(x-1)^{2}-1}{x^{4}-(x+1)^{2}}$
2)
Với các số thực $x,y,z$ thỏa mãn $xyz=-1;\ x+y+z=4$ và $\dfrac{x}{x^{2}-3x-1}+\dfrac{y}{y^{2}-3y-1}+\dfrac{z}{z^{2}-3z-1}=\dfrac{4}{9}$ . Tính giá trị của biểu thức $P=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ .

4,0 điểm

1)
Tìm x biết $\dfrac{x-1}{2025}+\dfrac{x-2}{2024}+\dfrac{x-3}{2023}+...+\dfrac{x-2025}{1}=2025$
2)
Một sân vườn hình chữ nhật được lát bởi các viên gạch hình bát giác đều và các viên gạch hình vuông hoặc hình tam giác vuông cân (hình vẽ minh họa). Biết cạnh bát giác đều bằng $2dm$ và số gạch hình bát giác đều là 500 viên. Tính diện tích phần sân vườn được lát bởi những viên gạch không phải là hình bát giác đều.

4,0 điểm

1)
Tìm tất cả các cặp số nguyên $(x; y)$ thỏa mãn: $x(1+x+x^{2})=4y(y-1)$ .
2)
Cho hai số nguyên dương $x, y$ thỏa mãn $x^{4}+x^{2}y^{2}+y^{4}$ chia hết cho 11. Chứng minh rằng $x^{4}+x^{2}y^{2}+y^{4}$ chia hết cho $11^{4}$ .

6,0 điểm

1)
Cho hình bình hành $ABCD$ có $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$ , góc $A$ tù và $AB>AD$ . Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $B$ trên $AC$ . Trên tia $BH$ lấy điểm $E$ sao cho $H$ là trung điểm của $BE$ .
1. a)
  Chứng minh rằng $ADEC$ là hình thang cân.
2. b)
  Gọi $I$ là giao điểm của $AE$ và $CD$ , $K$ là hình chiếu vuông góc của $O$ trên $CD$ , $J$ là trung điểm của $OK$ . Chứng minh rằng $IJ$ vuông góc với $AK$ .
2)
Cho hình vuông $ABCD$ , $E$ là một điểm trên cạnh $CD$ . Tia phân giác góc $BAE$ cắt $BC$ tại $M$ . Chứng minh rằng $AM \le 2ME$ .

2,0 điểm

1)
Bạn Tú có một hộp bút trong đó có 5 chiếc bút bi mực xanh, 7 chiếc bút bi mực đen và 3 chiếc bút chì. Bạn lấy ngẫu nhiên hai chiếc bút. Xác suất của biến cố: “Bạn Tú lấy được 1 chiếc bút chì và 1 chiếc bút mực”.
2)
Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn $a+b+c=1$ . Chứng minh rằng:
$\frac{ab}{a^{2}+b^{2}}+\frac{bc}{b^{2}+c^{2}}+\frac{ca}{c^{2}+a^{2}}+\frac{1}{4}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right) \ge \frac{15}{4}.$