Đề thi học sinh giỏi Toán 8 năm 2023–2024 — Trường THCS Song Mai, Bắc Giang

Thời gian: 120 phút
Số câu: 5 câu
Đáp án: Có đáp án

Câu 1

2,0 điểm

a)
Phân tích đa thức thành nhân tử: $x^3 - 19x + 30$
b)
Cho $x = by + cz$ ; $y = ax + cz$ ; $z = ax + by$ và $x + y + z \neq 0$ ; $xyz \neq 0$ .

Chứng minh: $\frac{1}{1+a} + \frac{1}{1+b} + \frac{1}{1+c} = 2$

Câu 2

1,5 điểm

a)
Giải phương trình: $2(6x+7)^2(3x+4)(x+1) - 12 = 0$
b)
Tìm $x, y$ nguyên thỏa mãn: $x^2 + 2y^2 + 3xy - x - y + 3 = 0$ .

Câu 3

3,0 điểm

a)
Tìm $a, b$ sao cho $f(x) = ax^3 + bx^2 + 10x - 4$ chia hết cho đa thức $g(x) = x^2 + x - 2$
b)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $A = 13x^2 + y^2 + 4xy - 2y - 16x + 2019$
c)
Chứng minh rằng: $n^3 - 3n^2 - n + 3$ chia hết cho $48$ với mọi số nguyên lẻ $n$ .

Câu 4

3,0 điểm

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ $(AB < AC)$ , đường cao $AH$ . Gọi $D$ là điểm đối xứng của $A$ qua $H$ . Đường thẳng qua $D$ song song với $AB$ cắt $BC$ và $AC$ lần lượt ở $M$ và $N$ .

a)
Chứng minh tứ giác $ABDM$ là hình thoi.
b)
Chứng minh $AM$ vuông góc với $CD$
c)
Gọi $I$ là trung điểm của $MC$ , chứng minh rằng $IN$ vuông góc $HN$

Câu 5

0,5 điểm

Cho $a, b$ là các số thực dương khác nhau. Chứng minh $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} > \frac{4}{a+b}$

Từ đó chứng minh $A > 1$ với $A = \frac{1}{2019} + \frac{1}{2020} + \frac{1}{2021} + ... + \frac{1}{6.054} + \frac{1}{6.055}$

HẾT